Vektorové prostory, podprostory, báze a dimenze, matice přechodu

Vektorový prostor

• Čtveřici $(V;+,T,\cdot )$ nazýváme vektorový prostor, jestliže
  1. $(V;+)$ je abelovská grupa s jednotkou $\vec{o}$ (nulový vektor);
  2. $T$ je číselné těleso;
  3. $\cdot :T\times V\to V$ je levá vnější operace nad $T$ a $V$;
  4. Pro všechny $\vec{u},\vec{v}\in V$ a všechny $c,d\in T$ platí
     • $c\cdot (\vec{u}+\vec{v})=c\cdot \vec{u}+c\cdot \vec{v}$,
     • $(c+d)\cdot \vec{u}=c\cdot \vec{u}+d\cdot \vec{u}$,
     • $(c\cdot d)\cdot \vec{u}=c\cdot (d\cdot \vec{u})$,
     • $1\cdot \vec{u}=\vec{u}$.
• Pole vektorového prostoru … množina $V$
• Vektory … prvky pole $V$
• Skaláry … prvky tělesa $T$

---

• Nechť máme vektorový prostor $V$ (prvky jsou vektory) nad tělesem $T$ (prvky jsou skaláry). Platí, že "$+$": $V\times V\to V$ a "$\cdot$": $T\times V\to V$ (tzn. když sčítám vektor jiným vektorem tak výsledek bude zase v tom samém vektorovém prostoru a když násobím vektor skalárem tak výsledek bude taktéž v tom samém vektorovém prostoru)
• Operace musí být uzavřené (např. po násobení nesmím dostat něco co není ve vektorovém prostoru $V$)

Lineární kombinace vektorů

• Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$, nechť $\vec{v},\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}\in V$. Říkáme, že vektor $\vec{v}$ je lineární kombinací vektorů $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}$, jestliže existují skaláry $c_1,c_2,\dots ,c_n\in T$ tak, že

$$\vec{v}=\sum _{i=1}^n{c}_i\overrightarrow{u_i}=c_1\overrightarrow{u_1}+c_2\overrightarrow{u_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{u_n}.$$

• Je to způsob, jak vyjádřit jeden vektor jako kombinaci jiných vektorů s využitím násobení skaláry a sčítání.

Příklad 5.3

• Nulový vektor $\vec{o}\in V$ je lineární kombinací libovolných vektorů z $V$

Lineární závislost a nezávislost vektorů

• Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$. Vektory $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}\in V$ nazýváme lineárně závislé, jestliže existují skaláry $c_1,c_2,\dots ,c_n\in T$ tak, že

$$\vec{o}=\sum _{i=1}^n{c}_i\overrightarrow{u_i}=c_1\overrightarrow{u_1}+c_2\overrightarrow{u_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{u_n},$$

a přitom alespoň jedno z čísel mezi $c_1,c_2,\dots ,c_n$ je nenulové. V opačném případě, tedy pokud

$$\vec{o}=\sum _{i=1}^n{c}_i\overrightarrow{u_i}=c_1\overrightarrow{u_1}+c_2\overrightarrow{u_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{u_n},$$

pouze v případě, že $c_1=c_2=\dots =c_n=0$, se vektory $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}\in V$ nazývají lineárně nezávislé.

Báze vektorového prostoru $V$

• Je to množina lineárně nezávislých vektorů, které “generují” prostor $V$.
• Generují znamená, že pomocí této množiny jsme schopni vyjádřit libovolný vektor prostoru $V$.
• (kdybychom nějaký vektor z této množiny odebrali, už bychom nedokázali vyjádřit celý prostor $V$)

Dimenze

• Dimenze vektorového prostoru $V$ je rovna počtu prvků báze tohoto vektorového prostoru.
• Pokud je báze nekonečná, je i dimenze nekonečná.

Podprostor

• Nechť $(V;+,T,\cdot )$ je vektorový prostor nad tělesem $T$ a nechť $\varnothing \ne W\subseteq V$. Pak $(W;+,T,\cdot )$ nazveme podprostor vektorového prostoru $V$, jestliže:
  1. $\forall \vec{u},\vec{v}\in W:\vec{u}+\vec{v}\in W$,
  2. $\forall \vec{u}\in W,\forall c\in T:c\cdot \vec{u}\in W$.

Tip

Musí být tedy uzavřené na sčítání vektorů a na násobení skalárem.

Transformace souřadnic vektoru vzhledem k bázi

• Nechť $V$ je vektorový prostor nad $T$ takový, že $\dim V=n$ (má $n$ bázových vektorů). Jeli $B=\left\{{\vec{u}}_1,\dots ,{\vec{u}}_n\right\}$ báze prostoru $V$ a $\vec{u}={\sum }_{i=1}^n{c}_i{\vec{u}}_i$ vektor z $V$, potom koeficienty $c_1,\dots ,c_n$ (skaláry z $T$) nazýváme souřadnice vektoru $\vec{u}$ vzhledem k bázi $B$ a píšeme $\{\vec{u}{\}}_B=\left(c_1,\dots ,c_n\right)$

Tip

• Transformace souřadnic využívá matice přechodu od jedné báze k druhé bázi.
• Pokud budeme znát souřadnice vektoru v jedné bázi tak pomocí jeho násobení maticí přechodu dostaneme souřadnice vektoru v nové bázi.

Matice přechodu

• Nechť $B=\left\{{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,\dots ,{\vec{u}}_n\right\}$ a $B^{\prime }=\left\{{\vec{u}}_1^{\prime },{\vec{u}}_2^{\prime },\dots ,{\vec{u}}_n^{\prime }\right\}$ jsou báze VP $V$ a nechť ${\left\{{\vec{u}}_i^{\prime }\right\}}_B=\left(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in}\right),i\in \{1,2,\dots ,n\}$. Potom matici $A=||a_{ij}||$ nazýváme maticí přechodů od báze $B$ k bázi $B^{\prime }$.

Tip

• Matice přechodu bude vypadat tak, že v řádcích bude mít zapsané vektory nové báze popsané pomocí staré báze.
• První řádek:
  • Vezmeme si první vektor nové báze a zapíšeme jej jako lineární kombinaci vektorů staré báze (zapisuji zde jen koeficienty).
  • Takhle uděláme všechny řádky a dostaneme matici přechodu.

Věta: Nechť $B=\left\{{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,\dots ,{\vec{u}}_n\right\}$ a $B^{\prime }=\left\{{\vec{u}}_1^{\prime },{\vec{u}}_2^{\prime },\dots ,{\vec{u}}_n^{\prime }\right\}$ jsou báze VP $V$ a nechť $A$ je matice přechodu od báze $B$ k bázi $B^{\prime }$. Potom každý vektor $\vec{u}\in V$ můžeme vyjádřit:

$$\{\vec{u}{\}}_B=\{\vec{u}{\}}_B^{\prime }\cdot A$$

Do řádku zapsané koeficienty lineárních kombinací kdy vyjadřujeme bázové vektory nové báze pomocí bázových vektorů staré báze.

Isibalo - Matice přechodu

Něco navíc - Podprostory:

---

Vlastnosti

Věta 5.5 Neprázdná podmnožina $W$ pole vektorového prostoru $(V;+,T,\cdot )$ je polem podprostoru ve $V$ právĕ když s každými prvky $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}$ obsahuje také každou jejich lineární kombinaci.

Průnik

Průnik $W_1\cap W_2$ dvou podprostorů $W_1$ a $W_2$ ve $VP(V;+,T,\cdot )$ je obecně opět podprostor ve $V$. Je to “největší” (vzhledem k $\subseteq$ ) podprostor ve $V$, který je obsažen současně ve $W_1$ a $W_2$.

Příklad Uvažujme množiny

$$M^{+}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a& 0\\ 0& b\end{array}\right):a,b\in \mathbf{R}\right\},M^{-}=\left\{\left(\begin{array}{ll}0& c\\ d& 0\end{array}\right):c,d\in \mathbf{R}\right\}$$

Pak $\left(M^{+};+,\mathbf{R},\cdot \right)$ a $\left(M^{-};+,\mathbf{R},\cdot \right)$ jsou podprostory ve $\mathrm{VP}\left({\mathcal{M}}_2(\mathbf{R});+,\mathbf{R},\cdot \right)$ a platí

$$M^{+}\cap M^{-}=\left\{\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\right\}=\{\vec{o}\}.$$

Sjednocení

Přitom $M^{+}\cup M^{-}$ není polem podprostoru $\mathrm{VP}\left({\mathcal{M}}_2(\mathbf{R});+,\mathbf{R},\cdot \right)$, protože např.

$$(-1)\cdot \underset{\in M^{+}}{\underbrace{\left(\begin{array}{rr}-2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}}+3\cdot \underset{\in M^{-}}{\underbrace{\left(\begin{array}{rr}0& 1,5\\ -1& 0\end{array}\right)}}=\left(\begin{array}{rr}2& 4,5\\ -3& -1\end{array}\right),$$

což není prvek ani z $M^{+}$, ani z $M^{-}$, tedy ani z $M^{+}\cup M^{-}$. Obecně, jsou-li $W_1$ a $W_2$ dva podprostory VP $V$, pak nejmenší podprostor ve $V$ obsahující současnẽ jak $W_1$, tak i $W_2$ je podprostor $\left[W_1\cup W_2\right]$.

Součet

Vĕta $5.7$ Jsou-li $W_1$ a $W_2$ podprostory $\mathrm{VP}(V;+,T,\cdot )$, pak polem nejmenšího podprostoru obsahujícího současně $W_1$ a $W_2$ je množina

$$W_1+W_2=\left\{\vec{w}\in V:\vec{w}=\overrightarrow{w_1}+{\vec{w}}_2,\overrightarrow{w_1}\in W_1,\overrightarrow{w_2}\in W_2\right\}.$$

Definice $5.7$ Necht $(V;+,T,\cdot )$ je VP a $W_1$ a $W_2$ jeho podprostory. Podprostor $W_1+W_2$ nazveme součet podprostorů $W_1,W_2$. Věta $5.14$ Necht $W_1$ a $W_2$ jsou podprostory VP $V$ konečné dimenze. Pak $\dim \left(W_1+W_2\right)=$ $\dim \left(W_1\right)+\dim \left(W_2\right)-\dim \left(W_1\cap W_2\right)$

Přímý součet

Definice $5.8$ Necht $(V;+,T,\cdot )$ je VP a $W_1$ a $W_2$ jeho podprostory. Je-li $W_1\cap W_2=\{\vec{o}\}$, pak platí $V=W_1+W_2$, říkáme, že $V$ je přimý součet podprostorů $W_1,W_2$ a píseme $V=W_1\oplus W_2$.

Je-li VP $(V;+,T,\cdot )$ prrímým součtem podprostorů $W_1$ a $W_2$, pak každý vektor $\vec{v}\in V$ lze psát právě jedním způsobem ve tvaru $\vec{v}={\vec{w}}_1+\overrightarrow{w_2}$, kde $\overrightarrow{w_1}\in W_1$, ${\vec{w}}_2\in W_2$.

---

Navigace

Předchozí: Matice, operace s maticemi, hodnost, determinant Následující: Eukleidovské vektorové prostory, ortogonální a ortonormální báze, Schwarzova nerovnost, Schmidtova ortogonalizační metoda Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií