Matice, operace s maticemi, hodnost, determinant

Matice

• Nechť $(T;+;\circ )$ je číselné těleso, $m,n\in \mathbb{N}$ a dále nechť $a_{ij}\in T$ pro všechny indexy $i=1,2,...,m$ a $j=1,2,...,n$. Potom schéma

  $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right)=(a_{ij}{)}_{m\times n}$$

  se nazývá matice typu $m\times n$ nad $T$

• Pro každý prvek $a_{ij}$ je $i$ jeho řádkový index a $j$ jeho sloupcový index.

• Nechť $r=min\{m,n\}$, pak prvky $a_{11},a_{22},...,a_{rr}$ tvoří tzv. hlavní diagonálu matice $A$.

Typy matic

• Matice $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ se nazývá nulová, jestliže $a_{ij}=0$ pro každý index $i,j$.
• Matice $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ se nazývá čtvercová stupně $n$, jestliže $m=n$.
• Čtvercová matice se nazývá diagonální, jestliže mimo hlavní diagonálu jsou všechny prvky nulové
• Diagonální matice se nazývá skalární, jsou-li si všechny prvky hlavní diagonály rovny.
• Skalární matice se nazývá jednotková, pokud má na hlavní diagonále samé jedničky. Značíme ji $E$.

Rovnost matic

• Dvě matice $A,B\in M_{m\times n}(T)$ jsou si rovny (píšeme $A=B$), jestliže $a_{ij}=b_{ij}$ pro každé $i,j$.

Sčítání matic

• Nechť $A,B\in M_{m\times n}(T)$. Součtem matic $A$ a $B$ rozumíme matici $A+B=(c_{ij}{)}_{m\times n}$, kde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ pro každé $i,j$.

Příklad

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ -1& 3& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 1\\ 0& -1& 4\end{array}\right)\\ \\ A+B=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 1\\ -1& 2& 5\end{array}\right).\end{array}\end{array}$$

Násobení matice skalárem

• Nechť $(T;+;\cdot )$ je číselné těleso, $A\in M_{m\times n}(T),c\in T$.
• Zavedeme zobrazení "$\cdot$":$T\times M_{m\times n}(T)\to M_{m\times n}(T)$ předpisem $c\cdot A=(b_{ij}{)}_{m\times n},$ kde $b_{ij}=c\cdot a_{ij}$ pro každé $i,j$.
• (Prvky z $T$ nazýváme skaláry.)

Příklad

• Mějme matici $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ a skalár $c=3$.
• Vynásobíme-li matici skalárem $c$, dostaneme: $3A=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 1& 3\cdot 2\\ 3\cdot 3& 3\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right)$
• Pro libovolné skaláry $c,d\in T$ a libovolné matice $A,B\in M_{m\times n}(T)$ platí
  1. $c\cdot (A+B)=c\cdot A+c\cdot B,$
  2. $(c+d)\cdot A=c\cdot A+d\cdot A,$
  3. $(c\cdot d)\cdot A=c\cdot (d\cdot A),$
  4. $1\cdot A=A.$

Součin matic

• Nechť $A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{jk}{)}_{n\times p}$ jsou matice nad tělesem $T$. Součinem matic $A$ a $B$ rozumíme matici $A\cdot B=(c_{ik}{)}_{m\times p}$, kde

  $$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot b_{jk}=a_{i1}\cdot b_{1k}+a_{i2}\cdot b_{2k}+...+a_{in}\cdot b_{nk}$$

  pro všechny indexy $i,k$.

• Pro libovolné matice $A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{jk}{)}_{n\times p},C=(c_{kl}{)}_{p\times r},D=(d_{jk}{)}_{n\times p}$ nad tělesem $T$ platí

  1. $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C,$
  2. $A\cdot (B+D)=A\cdot B+A\cdot D$
  3. $(B+D)\cdot C=B\cdot C+D\cdot C.$

Příklad

• Součin matic lze provést, neboť první matice v součinu má stejný počet sloupců, jako má druhá matice řádků.

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -2& 2& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -2& -1& -1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\\ \\ =\left(\begin{array}{ccc}0-4+3& 1-2+0& 2-2+0\\ 0-4-1& -2-2-0& -4-2-0\end{array}\right)=\\ \\ =\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 0\\ -5& -4& -6\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

Maticová transpozice

• Je-li $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ matice nad tělesem $T$, pak transponovanou maticí k matici $A$ rozumíme matici $A^T=(a_{ij}{)}_{n\times m}$. $A^T$ tedy vznikne vzájemnou záměnou odpovídajících řádků a sloupců matice $A$, tedy jakýmsi překlopením matice $A$ přes hlavní diagonálu.

Příklad

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& -1\\ 0& 2& 0& 1\\ -1& 0& 2& 1\end{array}\right)\Rightarrow A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 2& 0\\ 1& 0& 2\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$$

• Pro libovolné matice $A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{ij}{)}_{m\times n},C=(c_{jk}{)}_{n\times p}$ nad tělesem $T$ a libovolný skalár $c\in T$ platí:
  1. $(A+B{)}^T=A^T+B^T,$
  2. $(c\cdot A{)}^T=c\cdot A^T,$
  3. $(A\cdot C{)}^T=C^T\cdot A^T.$

Hodnost matice

• Řádkovým podprostorem matice $A\in M_{m\times n}(T)$ rozumíme podprostor v aritmetickém vektorovém prostoru $T^n$, který je generovaný řádkovými vektory matice $A$.

Příklad

Řádkovým podprostorem matice

$$A=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3,1& 5\\ -3& 1,8& -2& 4\\ 0& 0& 4,5& 0\end{array}\right)\in M_{3\times 4}(R)$$

je tedy prostor $[\{(2;-1;3,1;5),(-3;1,8;-2;4),(0;0;4,5;0)\}]\subseteq R^4.$

• Hodností matice $A\in M_{m\times n}(T)$ rozumíme dimenzi řádkového podprostoru matice $A$ a značíme ji $h(A)$.
  • $h(A)$ se musí rovnat počtu lineárně nezávislých řádků matice $A\in M_{m\times n}(T)$, tedy $h(A)\le m.$
  • Jestliže $A\sim B$, pak $h(A)=h(B).$
  • $h(A)$ je rovna počtu nenulových řádků libovolné matice $B$ v $GT$ takové, že $A\sim B$.

Příklad

$$A_{5\times 4}=\left(\begin{array}{cccc}\times & \times & \times & \times \\ 0& \times & \times & \times \\ 0& 0& \times & \times \\ 0& 0& 0& \times \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow h(A)=4,B_{3\times 3}=\left(\begin{array}{ccc}\times & \times & \times \\ 0& 0& \times \\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow h(B)=2.$$

Tip

Hodnost Ize určit pomocí Gaussové eliminační metody tzn. upravuji na “trojúhelníkový” (Gaussův) tvar - upravuji matici pomocí EŘT (Elementárních Řádkových Transformací).

Hodnost matice je tedy počet nenulových řádků v Gaussově tvaru

Permutace na množině

• Dána konečná množina $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}.$ Pořadím $\Pi$ množiny $A$ nazveme každou $n$-tici $\Pi =(a_{k1},a_{k2},...,a_{kn})\in A^n$ takovou, že každý prvek z $A$ je v ní zastoupen přávě jednou.

• Permutací $P$ na množině $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ rozumíme každou bijekci $P:A\to A$.

• Permutaci $P$ množiny $A$ můžeme zapisovat ve tvaru

  $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& ...& a_n\\ a_{\pi (1)}& a_{\pi (2)}& ...& a_{\pi (n)}\end{array}\right)$$

  kde $\pi$ je některé pořadí indexové množiny $\{1,2,...,n\}$

• Pro každou $n$-prvkovou $(n\ge 1)$ množinu $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ je počet permutací na ní stejný jako počet pořadí této možiny, a je roven číslu $n!$.

• Protože nezáleží na povaze prvků $a_1,a_2,...,a_n$ množiny $A$, můžeme dále pracovat přímo s množinou prvních $n$ přirozených čísel, tedy $\{1,2,...,n\}$.

• Základním pořadím množiny $A$ přitom rozumíme $n$-tici ${\Pi }_0=\{1,2,...,n\}$.

Znaménko pořadí

• Nechť $\Pi =(k_1,k_2,...,k_n)$ je pořadí množiny $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$. Říkáme, že prvky $k_i$ a $k_j$ tvoří inverzi v $\Pi$, jestliže $i<j$, přestože $k_i>k_j$.

• Znaménkem pořadí $\Pi$ nazveme číslo $sgn(\Pi )=(-1{)}^{[\Pi ]}$, přitom $[\Pi ]$ značí počet inverzí v pořadí $\Pi$.

• Je-li $sgn(\Pi )=1$, nazveme pořadí $\Pi$ sudé.

• Je-li $sgn(\Pi )=-1$, nazveme pořadí $\Pi$ liché.

Příklad

V pořadí $\pi =(2,1,4,5,3)$ množiny $A$ jsou inverze $2,1$ ; $4,3$ ; $5,3$ tedy $sgn(\pi )=(-1{)}^3=-1$, tedy $\pi$ je liché.

Znaménko permutace

• Nechť $P=\left(\begin{array}{c}{\pi }_1\\ {\pi }_2\end{array}\right)$ je permuatace množiny $A$.
• Znaménkem permutace $P$ nazveme číslo $1$, jestliže $sgn({\Pi }_1)=sgn({\Pi }_2)$, číslo $-1$, pokud $sgn({\Pi }_1)\ne sgn({\Pi }_2)$.
• Je-li $sgn(P)=1$ nazývá se permutace $P$ sudá.
• Je-li $sgn(P)=-1$, říkáme, že $P$ je lichá.

Příklad

Je dána permutace:

$$P=\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 3& 5& 4\\ 3& 1& 2& 4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\pi }_1\\ {\pi }_2\end{array}\right).$$

Pak $sgn({\pi }_1)=(-1{)}^2=1$ a $sgn({\pi }_2)=(-1{)}^2=1$, tedy $P$ je sudá permutace.

Transpozice na množině

• Transpozicí na $A=\{1,2,...,n\}$ rozumíme permutaci $P$ na $A$ takovou, že existují $i,j\in A$ tak, že $P(i)=j,P(j)=i,P(k)=k$ pro všechny $k\in A\{i,j\}$.

Příklad

na $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ platí:

$$T(1,4)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 4& 2& 3& 1& 5& 6\end{array}\right).$$

Determinant

• Nechť $A=(a_{ij})\in M_n(T)$ je čtvercová matice stupně $n$ nad číselným tělesem $T$. Determinantem matice $A$ rozumíme číslo $\det (A)$ z tělesa $T$ takové, že $\det (A)={\sum }_{P}sgn(P)\cdot a_{1k_1}\cdot a_{2k_2}\cdot ...\cdot a_{n{k}_n}$, kde sčítáme přes všechny permutace $P=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& ...& n\\ k_1& k_2& ...& k_n\end{array}\right)$ na indexové množině $\{1,2,...,n\}$. Každý ze součinů $a_{1k_1}\cdot a_{2k_2}\cdot ...\cdot a_{n{k}_n}$ přitom nazýváme člen determinantu $\det (A)$.

• Jinými slovy:

  • Determinant čtvercové matice je číslo z $T$, které se rovná součtu $n!$ součinů prvků matice $A$, přičemž v každém z těchto součinů $a_{1k_1}\cdot a_{2k_2}\cdot ...\cdot a_{n{k}_n}$ je každý řádek a sloupec matice zastoupen právě jedním prvkem.
  • Tento součin ale musíme doplnit znaménkem stejným jako je znaménko permutace určené řádkovými a sloupcovými indexy prvků zastoupených v tomto součinu

Příklad

Určete determinant matice $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\in M_2(T)$:

Členy determinantu budou součiny $a_{11}\cdot a_{22}$, který odpovídá permutaci $P_1=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right|,$jejíž znaménko je $1$, a také $a_{12}\cdot a_{21}$, který odpovídá permutaci $P_2=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|,$ jejíž znaménko je $-1$. Celkem tedy dostáváme $det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}.$

Isibalo - Definice determinantu

Sarrusovo pravidlo

• Vyjádření determinantů matic $2.$ a $3.$ stupně lze znázornit i schematicky:
• Pro $n=2:$
• Pro $n=3:$

Determinanty matic ve speciálních tvarech

• Pro každou matici $A\in M_n(T)$, kde $T$ je číselné těleso, platí $det(A^T)=det(A)$.
• Má-li matice $A\in M_n(T)$ v některém řádku (sloupci) samé nuly, platí $det(A)=0$.
• Má-li matice $A\in M_n(T)$ pod (nad) hlavní diagonálou samé nuly, platí $det(A)={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot ...\cdot a_{nn}$
• Vznikne-li matice $B\in M_n(T)$ dva stejné řádky (sloupce), pak $det(A)=0$.

Submatice, subdeterminant

• Nechť $A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(T)$. Pak každou matici, která vznikne z $A$ vynecháním některých jejích řádků a sloupců, nazýváme submatice (nebo dílčí matice) matice $A$
• Je-li submatice čtvercová, pak její determinant nazýváme subdeterminant matice $A$

Příklad

$$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 4& 1\\ -2& 0& -3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& -3\end{array}\right)$$

Algebraický doplněk prvku ve čtvercové matici

• Nechť $A=(a_{ij})\in M_n(T)$. Potom subdeterminant dílčí matice, která vznikne z $A$ vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce, budeme nazývat minor matice $A$ příslušný k prvku $a_{ij}$. značíme $M_{ij}$.
• Algebraickým doplňkem prvku $a_{ij}$ matice $A$ rozumíme číslo $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}.$

Příklad

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 4& 1\\ -2& 0& -3\end{array}\right)\to A_{32}=(-1{)}^{3+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=-2$$

Laplaceův rozvoj determinantu

• Nechť $A=(a_{ij})\in M_n(T)$. Pak pro každý řádkový index $i=1,2,...,n$ platí $$det(A)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot A_{ij}=a_{i1}\cdot A_{i1}+...+a_{in}\cdot A_{in},$$ resp. pro každý sloupcový index $j=1,2,...,n$ platí $$det(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}\cdot A_{ij}=a_{1j}\cdot A_{1j}+...+a_{nj}\cdot A_{nj},$$

Příklad

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 4& 1\\ -2& 0& -3\end{array}\right|=\\ \\ =(-1)\cdot (-1{)}^{1+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -3\end{array}\right|+4\cdot (-1{)}^{2+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& -3\end{array}\right|+0\cdot (-1{)}^{3+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=\\ \\ =-1+(-24)+0=-25\end{array}\end{array}$$

Řádkové a sloupcové vektory

• Nechť $A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(T)$.
• $n$-tici $a_i^{\to }=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$ budeme nazývat $i$-tý řádkový vektor matice $A$ pro každý index $i=1,2,...,m$.
• $m$-tici $a_j^{\to T}=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)$ budeme nazývat $j$-tý sloupcový vektor matice $A$ pro každý index $j=1,2,...,n$.

Úpravy matice při výpočtu determinantu

• Vznikne-li matice $B\in M_n(T)$ z matice $A\in M_n(T)$ vynásobením $i$-tého řádku (sloupce) číslem $c\in T$, pak $det(B)=c\cdot det(A)$
• Přičteme-li k některému řádku (sloupci) matice $A\in M_n(T)$ některou lineární kombinaci ostatních řádků, pak získáme matici $B\in M_n(T)$, pro kterou platí $det(B)=det(A)$
• Jsou-li řádkové (sloupcové) vektory matice $A\in M_n(T)$ lineární závislé, pak platí $det(A)=0$.
• Nechť $A,B\in M_n(T)$. Pak $det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$.

Příklad

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cccccc}2& 5& -3& -1& 0& 4\\ 3& -1& 2& 2& -2& 6\\ 1& -5& -3& 4& 2& -2\\ 0& 2& -1& 2& 1& -3\\ -1& 1& -2& -3& 0& 1\\ 1& 2& -2& 2& 3& -9\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccccc}2& 5& -3& -1& 0& 4\\ 3& 3& 0& 6& 0& 0\\ 1& -9& -1& 0& 0& 4\\ 0& 2& -1& 2& 1& -3\\ -1& 1& -2& -3& 0& 1\\ 1& -4& 1& -4& 0& 0\end{array}\right|\\ \\ =(-1)\left|\begin{array}{ccccc}2& 5& -3& -1& 4\\ 3& 3& 0& 6& 0\\ 1& -9& -1& 0& 4\\ -1& 1& -2& -3& 1\\ 1& -4& 1& -4& 0\end{array}\right|=(-3)\left|\begin{array}{ccccc}2& 5& -3& -1& 4\\ 1& 1& 0& 2& 0\\ 1& -9& -1& 0& 4\\ -1& 1& -2& -3& 1\\ 1& -4& 1& -4& 0\end{array}\right|\\ \\ =(-3)\left|\begin{array}{ccccc}2& 3& -3& -5& 4\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& -10& -1& -2& 4\\ -1& 2& -2& -1& 1\\ 1& -5& 1& -6& 0\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{cccc}3& -3& -5& 4\\ -10& -1& -2& 4\\ 2& -2& -1& 1\\ -5& 1& -6& 0\end{array}\right|\\ \\ =3\left|\begin{array}{cccc}-5& 5& -1& 0\\ -18& 7& 2& 0\\ 2& -2& -1& 1\\ -5& 1& -6& 0\end{array}\right|=(-3)\left|\begin{array}{ccc}-5& 5& -1\\ -18& 7& 2\\ -5& 1& -6\end{array}\right|=(-3)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -28& 17& 2\\ 25& -29& -6\end{array}\right|\\ \\ =3\left|\begin{array}{cc}-28& 17\\ 25& -29\end{array}\right|=3\cdot 387=1161.\end{array}\end{array}$$

Navigace

Předchozí: Stromy, kořenové stromy, vztahy mezi výškou, počtem vrcholů, počtem listů Následující: Vektorové prostory, podprostory, báze a dimenze, matice přechodu Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií