Lineární zobrazení a transformace a jejich matice

Lineární zobrazení

• Nechť $\mathcal{V}=(V,+,\mathcal{T},\cdot )$ a ${\mathcal{V}}^{\prime }=\left(V^{\prime },+,\mathcal{T},\cdot \right)$ jsou vektorové prostory nad číselným tělesem $\mathcal{T}$. Potom zobrazení $f:V\to V^{\prime }$ nazveme homomorfismus vektorového prostoru $\mathcal{V}$ do vektorového prostoru ${\mathcal{V}}^{\prime }$, jestliže
  1. $\forall \vec{u},\vec{v}\in V;f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})$,
  2. $\forall c\in T,\vec{u}\in V;f(c\vec{u})=cf(\vec{u})$.

• Bijektivní homomorfismus $\mathcal{V}$ na ${\mathcal{V}}^{\prime }$ se nazývá izomorfismus $\mathcal{V}$ na ${\mathcal{V}}^{\prime }$.

Isibalo - Lineární zobrazení

Jádro homomorfismu

• Je-li $f$ homomorfismus vektorového prostoru $\mathcal{V}$ do vektorového prostoru ${\mathcal{V}}^{\prime }$, pak jádrem homomorfismu $f$ nazýváme množinu $\mathrm{Ker}f=\left\{\vec{u}\in V;f(\vec{u})={\vec{o}}^{\prime }\right\}$.
• Symbol ${\vec{o}}^{\prime }$ označuje nulový vektor ve ${\mathcal{V}}^{\prime }$.
• Věta: Je-li f homomorfismus $\mathcal{V}$ do ${\mathcal{V}}^{\prime }$, pak
  • $f$ je injektivní, právě když $\mathrm{Ker}f=\{\vec{o}\}$;
  • $f$ je surjektivní, právě když $\mathrm{Im}f={\mathcal{V}}^{\prime }$;
  • $f$ je izomorfismus, právě když $\mathrm{Ker}f=\{\vec{o}\}$ a $\mathrm{Im}f={\mathcal{V}}^{\prime }$.

• Věta: Nechť $\mathcal{V},{\mathcal{V}}^{\prime },{\mathcal{V}}^{\prime \prime }$ jsou vektorové prostory nad tělesem $\mathcal{T},f$ homomorfismus $\mathcal{V}$ do ${\mathcal{V}}^{\prime },g$ homomorfismus ${\mathcal{V}}^{\prime }$ do ${\mathcal{V}}^{\prime \prime }$. Potom složené zobrazení $f\circ g:V\to V^{\prime \prime }(tj.\forall \vec{u}\in$ $V;(f\circ g)(\vec{u})=g(f(\vec{u})))$ je homomorfismus $\mathcal{V}$ do ${\mathcal{V}}^{\prime \prime }$.
• Věta: Je-li $f$ izomorfismus $\mathcal{V}$ na ${\mathcal{V}}^{\prime }$ pak zobrazení $f^{-1}:V^{\prime }\to V$ je izomorfismem ${\mathcal{V}}^{\prime }$ na $\mathcal{V}$
• Věta: Jsou-li $\mathcal{V}$ a ${\mathcal{V}}^{\prime }$ vektorové prostory nad $\mathcal{T}$, je-li $f$ izomorfismus $\mathcal{V}$ na ${\mathcal{V}}^{\prime }$ a je-li $\left\{\overrightarrow{u_1},\dots ,\overrightarrow{u_n}\right\}$ báze prostoru $\mathcal{V}$, pak množina $\left\{f\left(\overrightarrow{u_1}\right),\dots ,f\left(\overrightarrow{u_n}\right)\right\}$ je bází prostoru ${\mathcal{V}}^{\prime }$.

Příklad 1

• Uvažujme zobrazení $f:{\mathcal{R}}^2\to {\mathcal{R}}^2$ takové, že pro každý vektor $\left(x_1,x_2\right)\in$ ${\mathcal{R}}^2$ platí $f\left(\left(x_1,x_2\right)\right)=\left(2x_1+x_2,x_1+x_2\right)$
• Pro libovolné $\left(x_1,x_2\right),\left(y_1,y_2\right)\in {\mathcal{R}}^2$ a $c\in \mathcal{R}$ platí f\left(\left(x_1, x_2\right)+\left(y_1, y_2\right)\right)=f\left(\left(x_1+\right.\right.\left.\left.y_2\right),\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)\right)=\left(2 x_1+x_2, x_1+x_2\right)+\left(2 y_1+y_2, y_1+y_2\right)=$$=f\left(\left(x_1, x_2\right)\right)+f\left(\left(y_1 y_2\right)\right) f\left(c\left(x_1, x_2\right)\right)=f\left(\left(c x_1, c x_2\right)\right)=\left(2 c x_1+c x_2, c x_1+c x_2\right)=c\left(2 x_1+x_2, x_1+x_2\right)=c f\left(\left(x_1, x_2\right)\right) tedy $f$ je homomorfismus ${\mathcal{R}}^2$ do ${\mathcal{R}}^2$.
• Nechť $\left(x_1,x_2\right)\in {\mathcal{R}}^2$ je takový vektor, že $f\left(\left(x_1,x_2\right)\right)=\vec{o}$, tj. platí $2x_1+x_2=0,x_1+x_2=0$ Potom $x_1=x_2=0$, tedy $\left(x_1,x_2\right)=\vec{o}$, a to znamená, že Ker $f=\{\vec{o}\}$, neboli že $f$ je injektivní.
• Ukážeme ještě, že pro každý vektor $\left(y_1,y_2\right)\in {\mathcal{R}}^2$ existuje $\left(x_1,x_2\right)\in {\mathcal{R}}^2$, který je jeho vzorem v homomorfismu $f$. Pro takový $\left(x_1,x_2\right)$ musí platit $f\left(\left(x_1,x_2\right)\right)=\left(y_1,y_2\right)$, tedy $y_1=2x_1+x_2,y_2=x_1+x_2.$ Odtud dostáváme $x_1=y_1-y_2,x_2=2y_2-y_1,$ a snadno se přesvědčíme, že opravdu platí $\left(y_1,y_2\right)=f\left(y_1-y_2,2y_2-y_1\right)$. Homomorfismus je tedy surjektivní.
• Celkově proto dostáváme, že $f$ je izomorfismem ${\mathcal{R}}^2$ na ${\mathcal{R}}^2$.

Příklad 2

• Označme $g$ zobrazení ${\mathcal{R}}^3$ do ${\mathcal{R}}^4$ takové, že pro každý vektor $\left(x_1,x_2,x_3\right)\in$ ${\mathcal{R}}^3$ platí $g\left(\left(x_1,x_2,x_3\right)\right)=\left(x_1,x_1,x_2,x_3\right)$.
• Podobně jako v příkladu $1$ snadno dokážeme, že $g$ je homomorfismus ${\mathcal{R}}^3$ do ${\mathcal{R}}^4$.
• Jestliže pro $\left(x_1,x_2,x_3\right)\in {\mathcal{R}}^3$ platí $g\left(\left(x_1,x_2,x_3\right)\right)=\vec{o}$, pak $x_1=x_2=x_3=0$, tedy $\left(x_1,x_2,x_3\right)=\vec{o}$. To znamená, že Ker $f=\{\vec{o}\}$, neboli že $g$ je injektivní.
• Dále platí, že $\mathrm{Im}g=\left\{\left(x_1,x_1,x_2,x_3\right);\left(x_1,x_2,x_3\right)\in {\mathcal{R}}^3\right\}$, tedy $\mathrm{Im}g$ je vlastní podmnožinou ${\mathcal{R}}^4$. Proto $g$ není surjektivní, což znamená, že není ani izomorfismus.

Příklad 3

• Uvažujme zobrazení $h:{\mathcal{R}}^2\to \mathcal{R}$ takové, že $h\left(\left(x_1,x_2\right)\right)=\left(x_1+x_2\right)$.
• Přímým výpočtem můžeme ověřit, že $h$ je homomorfismus ${\mathcal{R}}^2$ do $\mathcal{R}$.
• Jestliže pro $\left(x_1,x_2\right)\in {\mathcal{R}}^2$ platí $h\left(\left(x_1,x_2\right)\right)=\vec{o}$, pak $x_1+x_2=0$, neboli Ker $h=$ $\left\{\left(x_1,x_2\right)\in {\mathcal{R}}^2;x_1=-x_2\right\}$, a tedy $h$ není injektivní, proto není ani izomorfismem.
• Homomorfismus $h$ je ale surjektivní, protože pro každý $x\in \mathcal{R}$ platí $(x)=h((x,0))$.

Geometrická transformace a jejich matice

Posunutí

• Posunutí ve 3D o vektor $u=(x,y,z)$ je určeno maticí:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\\ 0& 1& 0& y\\ 0& 0& 1& z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Změna měřítka

• Změna měřítka ve třech rozměrech popisuje matice ve travu:

$$\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Zkosení

• Operaci zkosení ve 3D podél osy $x$ realizuje matice:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& k_{xy}& k_{xz}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

zkosení podél osy $y$ popisuje matice:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ k_{yx}& 1& k_{yz}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

zkosení podél osy $z$ určuje matice:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ k_{xz}& k_{zy}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

Rotace

• Rotace ve 3D kolem souřadnicové osy $x$ o úhel $\varphi$ udává matice:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

rotace okolo osy $y$ o úhel $\chi$ určuje matice:

$$\left(\begin{array}{cccc}\cos \chi & 0& -\sin \chi & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin \chi & 0& \cos \chi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

rotace okolo osy $z$ o úhel $\psi$ popisuje matice:

$$\left(\begin{array}{cccc}\cos \psi & \sin \psi & 0& 0\\ -\sin \psi & \cos \psi & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

Navigace

Předchozí: Soustavy lineárních rovnic, Frobeniova věta, Gaussova eliminační metoda, Cramerovo pravidlo Následující: Funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií