Spojitost funkce - spojitost v bodě, spojitost na intervalu

Spojitost funkce v bodě

• Říkáme, že $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je spojitá v bodě $a\in \mathbb{R}$, právě když ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$
  • slovy: limita v bodě $a$ funkce $f$ je definována a je rovna funkční hodnotě v tomto bodě
• Alternativní definice ($ϵ-\delta$ formulace spojitosti):
  • Funkce $f$ definovaná na okolí bodu $a\in D_f$ je spojitá v bodě $a\in D_f$, právě když pro každé $ϵ>0$ existuje $\delta >0$ tak, že pro každé $x\in \mathbb{R}$ splňující $|x-a|<\delta$ platí $|f(x)-f(a)|<ϵ$.
• Analogicky jako u limity říkáme, že $f$ je spojitá zprava resp. zleva, právě když ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$, resp. ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$.
• Na rozdíl od limity:
  • musí být funkce $f$ v bodě $a$ definována
  • limita ${\lim }_{x\to a}f(x)$ musí být rovna funkční hodnotě v bodě $a$
• 

Isibalo - Spojitost v bodě a na intervalu

Základní vlastnosti spojitosti

• Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Pak:
  1. $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když je v $a$ spojitá zprava i zleva
  2. Jestliže je $f$ spojitá v $a$, pak existuje $U(a)$ takové, že $f$ je omezená na $U(a)$
  3. Jsou-li $f,g$ spojité v $a$, pak $|f|$, $f+g$, $f\cdot g$ jsou také v $a$ spojité. Pokud $g(a)\ne 0$, je v $a$ spojitá i $\frac{f}{g}$
     • Jsou-li funkce $f$ a $g$ spojité v bodě $a$, pak můžeme o součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí prohlásit, že se jedná o funkci spojitou v bodě $a$.
  4. Nechť $f$ je spojitá v $a$ a $g$ spojitá v $A=f(a)$. Pak je také $g\circ f$ spojitá v $a$

O limitě složené funkce

Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a nechť:

• ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\in \mathbb{R}$,
• $g$ je spojitá v $A$. Pak ${\lim }_{x\to a}g(f(x))=g(A)$.

O spojitosti elementárních funkcí

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\in D(f)$ je elementární. Pak v každém bodě $x\in D(f)$ je $f$ spojitá.

Spojitost na intervalu (množině)

Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je definována na intervalu $(a,b)$.

1. Říkáme, že $f$ je spojitá na $(a,b)$, je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
2. Říkáme, že $f$ je spojitá na $⟨a,b⟩$, je-li spojitá na $(a,b)$, v bodě $a$ je spojitá zprava a v bodě $b$ je spojitá zleva.

Navigace

Předchozí: Limita funkce včetně nevlastních, jednostranné limity Následující: Vlastnosti spojitých funkcí, spojitost složené a inverzní funkce Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií

---

Další věci k tomuto tématu

Důsledky spojitosti funkce

• Spojitost funkce na intervalu má zajímavé důsledky důležité pro vyšetření průběhu funkce

O omezenosti a minimu (Weierstrassova věta)

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$. Pak:

1. O omezenosti: $f$ je omezená na $⟨a,b⟩$.
2. O maximu a minimu: $f$ nabývá na $⟨a,b⟩$ svého (lokálního) maxima a minima.
   • To znamená, že existují $c,d\in ⟨a,b⟩$ takové, že $f(c)={\min }_{x\in ⟨a,b⟩}f(x)$ a $f(d)={\max }_{x\in ⟨a,b⟩}f(x)$
   • Což také znamená, že pro všechna $x\in ⟨a,b⟩$ je $f(c)\le f(x)\le f(d)$.
   • Zjednodušeně, je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu ⟨a,b⟩, pak nabývá v alespoň jednom bodě svého lokálního maxima a v alespoň jednom bodě svého minima.
   • Tato věta nám dává jistotu v existenci lokálního maxima a minima, neříká však nic o jejich vyhledání

Nechť navíc $f(a)<f(b)$. Pak: 3. O nabývání mezihodnot (Bolzanova-Weierstrassova věta): $f$ nabývá v intervalu $(a,b)$ všech hodnot mezi $f(a)$ a $f(b)$. - To znamená, že pro libovolné číslo $d\in (f(a),f(b))$ existuje číslo $c\in (a,b)$ takové, že $f(c)=d$.

Bolzanova věta

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$ taková, že $f(a)\cdot f(b)<0$. Pak existuje $c\in \mathbb{R}$ takové, že $c\in (a,b)$ a $f(c)=0$.
  •  její graf v alespoň jednom vnitřním bodě tohoto intervalu protíná osu x
• Jedná se o postačující podmínku, který je přímým důsledkem Bolzano-Weierstrassovy věty
  • zajišťuje nám existenci nulového bodu
  • nulový bod lze nalézt metodou půlení intervalu
• 

O hodnotách spojité funkce

• Funkce $f$ je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$ a v $(a,b)$ nemá žádné nulové body, pak na $(a,b)$ je buď $f(x)>0$ nebo $f(x)<0$ pro všechny $x\in (a,b)$.

O spojitosti inverzní funkce

• Nechť $f$ je spojitá a ryze monotónní na intervalu $I$. Pak inverzní funkce $f^{-1}$ je také spojitá na $f(I)$.

O spojitosti složených funkcí

• Je-li funkce $g$ spojitá v bodě $a$ a funkce $f$ spojitá v bodě $g(a)$, pak je složená funkce $f\circ g$ spojitá v bodě $a$.
  • složením spojitých funkcí získáme opět spojitou funkci.

Jednostranná spojitost a body nespojitosti

• Mějme funkci $f:A\to \mathbb{R}$.
• Jestliže v jistém levém, resp. pravém okolí bodu $a$ není funkce $f$ definována, pak mluvíme o jednostranné spojitosti v bodě $a$ zprava, resp. zleva.
• Např. funkce $f:y=\sqrt{x}$ jde v bodě 0 o spojitost zprava (funkce není definována pro $x<0$).
• Pojem jednostranné spojitosti však zavádíme i v případě, že máme definováno okolí bodu $a$ zprava i zleva.

Jednostranná spojitost

Říkáme, že funkce $f:A\to \mathbb{R}$ je spojitá zprava (zleva) v bodě $a\in A$, jestliže platí:

• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$
• resp. ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$

Body nespojitosti

• Body definičního oboru funkce $f$, v nichž není funkce spojitá, nazýváme body nespojitosti funkce $f$. Tyto body můžeme roztřídit do tří skupin

Body odstranitelné nespojitosti

• Existuje konečná limita ${\lim }_{x\to a}f(x)=b$, ale $b\ne f(a)$.
• Stačí funkci $f$ v bodě $a$ předefinovat tak, že položíme $f(a)=b$ a funkce se stane spojitou.
• K bodům odstranitelné nespojitosti patří také body, v nichž je funkce $f$ nedefinovaná, ale existuje v něm limita ${\lim }_{x\to a}f(x)=b$.
  • V takovém případě postačí funkci $f$ v bodě $a$ dodefinovat tak, že položíme $f(a)=b$. Funkci $f$ tak rozšíříme na $D(f)\cup \{a\}$.
• Např. Funkce $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ není definována v bodě $x=0$.
  • 

Nespojitost prvního druhu

• Existují konečné jednostranné limity, ale nejsou si rovny:

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$$

• tomto případě nazveme bod $a$ nespojitostí prvního druhu a číslo

$$s(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)-\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$$

nazýváme skokem funkce v bodě $a$.

• Např. funkce $f(x)=\text{sgn}x$ má v bodě 0 nespojitost prvního druhu.
  • 

Nespojitost druhého druhu

• Jestliže alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje nebo je nevlastní ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$, pak bod $a$ nazveme bodem nespojitosti druhého druhu.
• Např. funkce $f(x)=\frac{1}{x}$ má v bodě 0 nespojitost druhého druhu.
  • Tvrzení nám dokáže opět jednostranné limity:

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=\infty ,\text{resp.}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$$

•