Pravděpodobnost, Laplaceova definice, pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, střední hodnota

Pravděpodobnost

• zabývá se určováním pravděpodobností náhodných jevů
• pravděpodobnost řeší problémy typu:
  • Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo $4$?
  • Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo?
• Teorie pravděpodobnosti vznikla spolu s kombinatorikou při analýze hazardních her.
• Pravděpodobnost a statistika nás učí, jak kvantitativně vyhodnocovat data.
  • Na pravděpodobnosti je založen pojem složitost algoritmu v průměrném případě

Klasická definice pravděpodobnosti (Laplaceova)

• Nechť $\Omega$ je konečný vzorový prostor a všechny elementární jevy v $\Omega$ jsou stejně pravděpodobné. Pro libovolnou událost $A\subseteq \Omega$, pravděpodobnost $P(A)$ je definována: $P(A)=\frac{po\check{c}etp\check{r}\acute{ı}zniv\acute{y}chv\acute{y}sledk\mathring{u}proA}{celkov\acute{y}po\check{c}etmo\check{z}n\acute{y}chv\acute{y}sledk\mathring{u}}$kde počet příznivých výsledků pro $A$ je počet prvků v množině $A$ a celkový počet možných výsledků je počet všech prvků ve vzorovém prostoru $\Omega$.

Kolmogorova definice pravděpodobnosti

• Je dán náhodný pokus:

  • hod kostkou
  • výběr člověka z populace ČR

• K pokusu patří množina $\Omega$ možných výsledků, tzv. elementárních jevů

  • hod kostkou: $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
  • výběr člověka: $\Omega =\{\text{cˇloveˇk }1,...,\text{cˇloveˇk }10^7\}$

• Určujeme pravděpodobnost tzv. jevů

  • Hod kostkou: jev “sudé číslo” $=\{2,4,6\}$
  • Výběr člověka: jev “žena” $=\{\text{cˇloveˇk }c\text{ v CˇR }\mid c\text{ je zˇena}\}$

• $\mathcal{A}$ = množina měřitelných jevů

• pravděpodobnost, přesněji pravděpodobnostní míra, je funkce $P:\mathcal{A}\to [0,1]$ splňující jisté vlastnosti

• Základním pojmem v Kolmogorově přístupu je pojem pravděpodobnostní prostor:

Pravděpodobnostní prostor

• Pravděpodobnostní prostor je trojice $<\Omega ,\mathcal{A},P>$, kde
  • $\Omega$ je neprázdná množina elementárních jevů (výsledků pokusu)
  • $\mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega }$ je množina jevů
  • $P:\mathcal{A}\to [0,1]$ je pravděpodobnostní míra pro jev $A\in \mathcal{A}$ je $P(A)\in [0,1]$ pravděpodobnost, že nastane jev $A$

---

• Pravděpodobnostní prostor je trojice $<\Omega ,\mathcal{A},P>$, kde:
  • $<\Omega ,\mathcal{A}>$ je $\sigma$-algebra (sigma) na $\Omega$, tj. $\Omega \ne \varnothing ,$ $\varnothing \ne \mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega }$ a platí:
    • je-li $A\in \mathcal{A}$, pak $\overline{A}\in \mathcal{A}$
    • jsou-li $A_1,A_2,...\in \mathcal{A}$, pak ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{A}$
  • $P$ je pravděpodobnostní míra, tj. $P$ je zobrazení přiřazující každé množině $A\in \mathcal{A}$ reálné číslo $P(A)$, které splňuje:
    • $P(A)\ge 0$ pro každý $A\in \mathcal{A}$
    • $P(\Omega )=1$
    • $P({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$ pro každou posloupnost jevů $A_1,A_2,...,$ které jsou po dvou disjunktní, tj. $A_i\cap A_j=\varnothing$ pro $i\ne j$.

---

• Prvky $\omega \in \Omega$ se nazývají elementární jevy a představují výsledky náhodného pokusu.
• Množiny $A\in \mathcal{A}$ se nazývají jevy, někdy také měřitelné jevy, a jsou to podmnožiny množiny $\Omega$, ale ne každá podmnožina množiny $\Omega$ musí být jevem.
• Jev je tedy množina $A$ sestávající z nějakých výsledků pokusu, o nichž říkáme, že jsou jevy $A$ příznivé.
• Pro jev $A$ se číslo $P(A)$ nazývá pravděpodobnost jevu $A$.
• Pravděpodobnostní prostor se nazývá diskrétní, pokud je množina $\Omega$ konečná a nebo spočetná.

Zjednodušeně

• Pravděpodobnostní prostor se skládá ze tří hlavních komponent:
  • vzorového prostoru,
  • σ-algebry,
  • pravděpodobnostní míry.

---

• Vzorový prostor, označovaný jako $\Omega$, je množina všech možných výsledků náhodného experimentu.
  • Při hodu kostkou by vzorový prostor byl $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
• $\sigma$-algebra nad vzorovým prostorem $\Omega$ je kolekce podmnožin $\Omega$ které jsou považovány za měřitelné.
  • Musí splňovat:
    1. Obsahuje $\varnothing$
    2. Je uzavřená na doplňky (pokud množina $A$ je v $\sigma$-algebře, pak její doplněk je taky).
    3. Je uzavřená na spočetné sjednocení
       • Pokud $A_1,A_2,...$ jsou v $\sigma$-algebře, pak ${\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$ je také v $\sigma$-algebře.
• Pravděpodobnostní míra, označena jako $P$, je funkce, která přiřazuje číslo mezi $0$ a $1$ každé měřitelné množině v $\sigma$-algebře. Reprezentuje pravděpodobnost, že nastane daný jev repzerentovaný touto množinou.
  • Musí splňovat:
    1. Nezápornost: $P(A)\ge 0$ pro všechna $A$ v $\sigma$-algebře.
    2. Normalita: $P(\Omega )=1$
    3. $\sigma$-aditivita: Pro jakoukoli sekvenci vzájemně disjunktních množin $A_1,A_2,...$ v $\sigma$-algebře platí, že $P({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$

Náhodná veličina, střední hodnota

Náhodná veličina

• Představme si, že náhodný pokus spočívá v náhodném výběru muže v České Republice.
• Označíme-li $\Omega =\{{\omega }_1,...,{\omega }_k\}$ množinu všech můžu v ČR, lze tento výběr popsat pravděpodobnostním prostorem, ve kterém množinou elementárních jevů je $\Omega$ a pravděpodobnost výběru každého muže ${\omega }_i$ je $P(\{{\omega }_i\})=1/k$.
• V této situaci nás může zajímat například výška mužů. Výšku mužů lze chápat jako funkci $X:\Omega \to \mathbb{R}$, která muži $\omega \in \Omega$ přiřadí jeho výšku $X(\omega )$.
  • např. $X(\omega )=182$
• Výška mužů se tedy v tomto pohledu jeví jako náhodná veličina
  • výška je náhodná, protože je tento muž vybrán náhodně.

---

• Náhodná veličina na konečném nebo diskrétním pravděpodobnostním prostoru $<\Omega ,2^{\Omega },P>$ je funkce $X:\Omega \to \mathbb{R}$.

Střední hodnota náhodné veličiny

• Střední hodnota (také očekávaná hodnota) náhodné veličiny $X$ se značí $E(X)$ a je definována následovně: $E(X)={\sum }_{x\in X(\Omega )}x\cdot P(X=x)$
• $E(X)$ vyjadřuje, s přihlédnutím k pravděpodobnosti hodnot, očekávanou hodnotu výsledku.
• $E(X)$ nemusí být rovna žádné z hodnot, které $X$ nabývá.

Rozptyl a směrodatná odchylka náhodné veličiny

• Střední hodnota náhodné veličiny nám dává užitečnou, ale jen omezenou informaci. To platí i pro průměrnou hodnotu, která je speciálním případem střední hodnoty: Jeden člověk sní celé kuře, druhý nic: v průměru měl každý půl kuřete

• Vidíme tedy, že průměr poskytují jen omezenou informaci o veličině $X$. Hodnoty $X$ mohou být kolem střední hodnoty $E(X)$ různě rozptýleny. K vyjádření toho, jak moc jsou rozptýleny, slouží tzv. rozptyl

• Rozptyl $varX$ náhodné veličiny $X$ je definován vztahem $varX=E((X-E(X){)}^2)$.

• Směrodatná odchylka $\sigma$ náhodné veličiny $X$ je druhá odmocnina rozptylu, tj. $\sigma =\sqrt{varX}$.

• $varX$ vyjadřuje, jak moc jsou hodnoty $X$ rozptýleny kolem $E(X)$. Čím je větší, tím jsou více rozptýleny.

Kvantil a Modus

Kvantil je míra polohy rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Medián je 0.5-kvantil. Modus je, zhruba řečeno, nejčastější hodnota náhodné veličiny

Navigace.

Předchozí: Permutace, variace, kombinace Následující: Inducke a rekurze, matematická indukce a její varianty Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií