Průběh funkce - základní věty diferenciálního počtu, extrémy funkce, konvexní a konkávní křivky, asymptoty

Geometrický význam derivace funkce

• Derivace v bodě vyjadřuje okamžitou rychlost růstu funkce v daném bodě

• Vezmeme-li obecně přírůstek hodnoty $\Delta x$ ($x_1-x_0$) a příslušný přírůstek $\Delta y$ ($y_1-y_0$), pak podíl $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ je rovno průměrné rychlosti růstu v úseku $x_0$ a $x_1$

  • hodnota tohoto podílu je rovna směrnici sečny, která protíná body $[x_0,y_0]$ a $[x_1,y_1]$

• Derivace v daném bodě $a$ je limitní hodnota tohoto podílu, když se $\Delta x$ blíží nule.

  • jinými slovy, derivace je ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
  • tato hodnota zároveň vyjadřuje směrnici tečny v konkrétním bodě

• Dodejme, že:

  • $x_1$ = $x_0+\Delta x$
  • $y_1$ = $y_0+\Delta y$

• Na obrázku níže jsou znázorněny body $T$ a $S$ na grafu příslušné funkce a sečna, která tyto dva body protíná.

• 

• Pokud bychom bod $S$ stále přibližovali k bodu $T$ (snižovali $\Delta x$) až by splynuly v jeden bod, vznikla by tečna, jejíž směrnice by udávala okamžitou rychlost růstu v daném bodě

• Směrnici této tečny můžeme znázornit pomocí limity: $k_t={\lim }_{\Delta x\to 0}{k}_s={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

• ve výpočtu se často využívá substituce $x=x_0+h$, tedy $h=x-x_0$ ($\Delta x$ je označen $h$,) $k_t={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

• Tato limita díky svojí důležitosti dostala název derivace funkce v bodě

• Jelikož jde o směrnici tečny v daném bodě, můžeme říci, že pokud je kladná, je tečna v daném bodě rostoucí (v opačném případě klesající)

• 

• Má-li funkce $f$ v každém bodě intervalu $(a,b)$ kladnou, resp. zápornou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí, resp. klesající.

Základní věty diferenciálního počtu

Isibalo - Motivace přůběhu funkce

• Nyní si uvedeme několik vět, které nám pomohou jednoduše zjišťovat, na kterých intervalech je funkce rostoucí (klesající), resp. jak dohledat lokální extrémy těchto funkcí.

Stacionární bod

• Bod $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$, existuje-li $f^{\prime }(x_0)$ a je-li $f^{\prime }(x_0)=0$.
• Tyto body někdy označovány výstižněji jako body podezřelé z extrémů
  • nulová první derivace je nutnou podmínkou pro existenci extrému

Monotónnost funkce

• Říkáme, že funkce $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je rostoucí v bodě $a\in \mathbb{R}$ právě tehdy, když existuje $P(a)\subseteq D(f)$ takové, že $\forall x\in P_{-}(a):f(x)<f(a)\text{a}\forall x\in P_{+}(a):f(x)>f(a).$
• Obdobně můžeme definovat pojmy klesající, neklesající a nerostoucí.
• $P_{-}(a)$, resp. $P_{+}(a)$ značí levé, resp. pravé prstencové okolí bodu $a$.

Postačující podmínka pro lokální monotonii

• Necht’ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},a\in \mathbb{R}$ a existuje $f^{\prime }(a)\in \mathbb{R}$. Pak
  1. je-li $f^{\prime }(a)>0$, je $f$ v $a$ rostoucí,
  2. je-li $f^{\prime }(a)<0$, je $f$ v $a$ klesající.

O monotonii na intervalu

• Nechť je $f$ na intervalu $I$ spojitá a nechť v každém vnitřním bodě intervalu existuje derivace, pak platí:

1. Funkce $f$ je na intervalu $I$ rostoucí (klesající), právě když pro všechny vnitřní body $x$ je $f^{\prime }(x)>0$ ($f^{\prime }(x)<0$).
2. Funkce $f$ je na intervalu $I$ neklesající (nerostoucí), právě když pro všechny vnitřní body $x$ je $f^{\prime }(x)\ge 0$ ($f^{\prime }(x)\le 0$).
3. Je-li $f^{\prime }(x)=0$ pro každý vnitřní bod intervalu $I$, je $f$ konstantní na $I$.

Lokální extrémy funkce

• Říkáme, že funkce $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ má v bodě $a\in \mathbb{R}$

1. ostré lokální maximum právě tehdy, když existuje $P(a)\subseteq D(f)$ takové, že $\forall x\in P(a):f(x)<f(a)$,
2. ostré lokální minimum právě tehdy, když existuje $P(a)\subseteq D(f)$ takové, že $\forall x\in P(a):f(x)>f(a)$.

• Pokud zaměníme ostré nerovnosti za neostré, dostaneme definici pro lokální maximum, resp. lokální minimum
• Obecně mluvíme o lokálních extrémech
• Jedná se o body, ve kterých funkce mění svojí monotonii

Isibalo - Co je to monoténnost a extrémy

Fermatova věta - nutná podmínka pro lokální extrém

• Necht’ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},a\in \mathbb{R}$ a existuje $f^{\prime }(a)\in \mathbb{R}$. Má-li funkce $f$ v bodě $a$ extrém, pak $f^{\prime }(a)=0$.
• Znaménková změna první derivace ovlivňuje monotonii funkce
• Tyto body označujeme jako stacionární body
  • Výstižněji také “body podezřelé z extrému”.

Poznámka

• Tvrzení nám sice zajišťuje podmínku, za které by mohl nastat v bodě extrém, nic nám však neříká, zda tam opravdu nastane.
  • kladná (záporná) derivace v bodě $⟹$ funkce v bodě roste (klesá),
  • extrém v bodě $⟹$ nulová derivace v bodě.
• Obráceně to neplatí, což si ukážeme na příkladu.
• Uvažujme funkci $f:y=x^3$, $x\in \mathbb{R}$ v bodě $x=0$. Derivace $f^{\prime }(x)=3x^2$ a tedy $f^{\prime }(0)=0$, přitom v libovolném levém okolí nuly platí: $\forall x\in P_{-}(0):f(x)<f(0)\wedge \forall x\in P_{+}(0):f(x)>f(0)$

Poznámka

• Extrému může nabýt funkce v bodě, v němž derivace vůbec neexistuje
• Např. funkce $f:y=|x|$ nemá v bodě $x=0$ derivaci, má zde pouze jednostranné derivace (jednostranné limity) $f_{-}^{\prime }=-1$ a $f_{+}^{\prime }=1$.
• Přitom víme, že má v tomto bodě minimum ($\forall x\in P(0):f(x)>0$).

• Bylo by tedy žádoucí poznat nějaké kritérium, které by nám nejen zaručilo, že v daném bodě extrém nastane, ale také nám objasnilo, o jaký extrém se bude jednat

Postačující podmínky pro lokální maximum

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, je spojitá v bodě $a\in \mathbb{R}$. Pak:

1. Je-li $f$ rostoucí na $P_{-}(a)$ a klesající na $P_{+}(a)$, pak $f$ má v bodě $a$ ostré lokální maximum.
2. Je-li $\forall x\in P_{-}(a):f^{\prime }(x)>0$ a $\forall x\in P_{+}(a):f^{\prime }(x)<0$, pak $f$ má v bodě $a$ ostré lokální maximum.

Postačující podmínky pro lokální minimum

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, je spojitá v bodě $a\in \mathbb{R}$. Pak:

1. Je-li $f$ klesající na $P_{-}(a)$ a rostoucí na $P_{+}(a)$, pak $f$ má v bodě $a$ ostré lokální minimum.
2. Je-li $\forall x\in P_{-}(a):f^{\prime }(x)<0$ a $\forall x\in P_{+}(a):f^{\prime }(x)>0$, pak $f$ má v bodě $a$ ostré lokální minimum.

Isibalo - Proč používáme první derivace

Derivace vyšších řádů

• Derivaci $(f^{\prime }{)}^{\prime }(x_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f^{\prime }(x_0+h)-f^{\prime }(x_0)}{h}$ budeme nazývat druhou derivací funkce $f$ v bodě $x_0$.
• Indukcí pak můžeme zavést derivace vyšších řádů:
• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ má vlastní derivaci $f^{(n-1)}$, $n\in \mathbb{N}$ v nějakém okolí bodu $x_0$ z definičního oboru $D(f)$. Pak definujeme n-tou derivaci funkce v bodě $x_0$ jako $f^{(n)}(x_0)={\left(f^{(n-1)}\right)}^{\prime }(x_0).$
• Má-li smysl, klademe $f^{(0)}=f$.

Určení monotonie a extrémů pomocí derivace vyšších řádů

• Tvrzení, které nám mnohdy může pomoci rozhodnout o monotonii či extrému v bodě v případě, kdy prvních $n-1$ derivací v bodě je nulových.
• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in \mathbb{R}$ a existuje $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 1$ takové, že $f^{\prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)=\dots =f^{(n-1)}(a)=0$ a $f^{(n)}\ne 0$. Pak:

1. Je-li $n$ sudé a $f^{(n)}>0$, pak $f$ má v bodě $a$ ostré lokální minimum.
2. Je-li $n$ sudé a $f^{(n)}<0$, pak $f$ má v bodě $a$ ostré lokální maximum.
3. Je-li $n$ liché a $f^{(n)}>0$, pak $f$ je v bodě $a$ rostoucí.
4. Je-li $n$ liché a $f^{(n)}<0$, pak $f$ je v bodě $a$ klesající.

• Mnohdy stačí najít body podezřelé z extrému a spočítat druhou derivaci v těchto bodech.
• Pokud bude záporná, jedná se o ostré lokální maximum, pokud bude kladná, můžeme ho prohlásit za ostré lokální minimum.

Postačující podmínky pro lokální extrémy.

• Nechť $f^{\prime }(x_0)=0$ a nechť existuje v bodě $x_0$ druhá derivace.
  1. Je-li $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, má funkce $f$ v bodě $x_0$ ostré lokální maximum
     • posloupnost směrnic tečen totiž klesá
  2. Je-li $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, má funkce $f$ v bodě $x_0$ ostré lokální minimum
     • posloupnost směrnic tečen totiž roste

Věty o střední hodnotě

• Tyto věty mají velký význam v dokazování dalších vět
  • např. L’Hospitalovo pravidlo, určitý integrál…

Rolleova věta

• Nechť funkce $f$ má následující vlastnosti:

1. Je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$.
2. Je diferencovatelná na otevřeném intervalu $(a,b)$.
3. Platí $f(a)=f(b)$.

• Potom v otevřeném intervalu $(a,b)$ existuje alespoň jeden bod $x$ takový, že $f^{\prime }(x)=0$
  • v nějakém bodě změní monotonii (rovnost koncových bodů)
• Věta sama zaručuje pouze existenci alespoň jednoho takového bodu, neumožňuje nám však ani tento bod určit, ani stanovit počet takových bodů

Lagrangeova věta

• Nechť funkce $f$ má následující vlastnosti:
  1. Je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$.
  2. Má derivaci na otevřeném intervalu $(a,b)$.
• Potom v otevřeném intervalu $(a,b)$ existuje alespoň jeden bod $x$ takový, že $f^{\prime }(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
• Geometrická interpretace:
  • spojíme-li přímkou $p$ body $A=[a,f(a)]$  a $B=[b,f(b)]$ potom mezi body $a$ a $b$ existuje alespoň jeden bod $C=(c,f(c))$, v níž je tečna ke grafu funkce $f$ je rovnoběžná s přímkou $p$
• 
• Fyzikální interpretace
  • Uvážíme-li nějakou veličinu, která se v čase mění podle hladké funkce, pak existuje okamžik uvnitř časového intervalu $(a,b)$, kdy je okamžitá změna této veličiny rovna průměrné změně za celý časový interval $(a,b)$ - střední hodnota

Cauchyova věta

• Nechť funkce $f(x)$, $g(x)$ mají následující vlastnosti:
  1. jsou spojité na intervalu $⟨a,b⟩$
  2. mají v každém bodě $x$ intervalu $(a,b)$ vlastní derivaci
  3. pro všechna $x\in (a,b)$ platí $g^{\prime }(x)\ne 0$.
• Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že platí: $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$
• Jedná se o zobecnění Lagrangeovy věty o střední hodnotě

Prostost funkce

• Nechť funkce $f$ vyhovuje podmínkám Lagrangeovy věty a navíc ať $f^{\prime }(x)\ne 0$ pro všechna $x\in (a,b)$. Potom je funkce $f$ prostá na $⟨a,b⟩$.
• Důkaz:
  • funkce $f$ je na množině $⟨a,b⟩$ prostá, jestliže $\forall x_1,x_2\in ⟨a,b⟩,x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$
  • předpokládejme že $f(x_1)=f(x_2)$ a že $x_1<x_2$, pak ale podle Lagrangeovy věty $f^{{}^{\prime }}(x)\ast (x_2-x_1)=0$
  • to je však spor s podmínkou ”$f^{\prime }(x)\ne 0$ pro všechna $x\in (a,b)$“

Konstantnost funkce

• Funkce $f$ je konstantní na intervalu $x\in (a,b)$, právě když má v tomto intervalu derivaci a platí $f^{\prime }(x)=0$ pro všechna $x\in (a,b)$.

l’Hospitalovo pravidlo

• Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in \mathbb{R}$. Nechť existuje ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A$
• a nechť je splněna jedna z následujících podmínek:
  1. ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=0$,
  2. ${\lim }_{x\to a}|g(x)|=\infty$.
• Pak existuje ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ a platí ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A$

Konvexní a konkávní funkce

• Uvažujme obecnou funkci $f(x)$

• Zvolíme-li na grafu funkce tři různé body $P_1=[x_1,f(x_1)]$, $P_2=[x_2,f(x_2)]$, $P_3=[x_3,f(x_3)]$ takové, že $x_1<x_2<x_3$. Vidíme, že bod $P_2$ leží pod přímkou $P_1{P}_3$.

• Má-li přímka $P_1{P}_3$ rovnici $y=kx+q$, pak výrok „$P_2$ leží pod přímkou $P_1{P}_3$” znamená, že $P_2$ leží v polorovině $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y<kx+q\}$).

• Rovnice přímky $P_1{P}_3$ je následovná:

$y=f(x_1)+\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}(x-x_1).$

• Pokud bod $P_2$ má ležet pod touto přímkou, stačí zaměnit „=” za „<” a obecný bod o souřadnicích $(x,y)$ za náš $P_2=[x_2,f(x_2)]$.
• Analogickou úvahu lze provést pro bod ležící nad přímkou.

Isibalo - Co je to konvexnost a konkávnost

Isibalo - Proč druhá derivace

Definice

• Nechť $f$ je definována na intervalu $I$. Říkáme, že funkce $f$ je na intervalu $I$

1. ryze konvexní právě tehdy, když pro libovolnou trojici $x_1,x_2,x_3\in I$, $x_1<x_2<x_3$ platí

$f(x_2)<f(x_1)+\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}(x_2-x_1).$

2. ryze konkávní právě tehdy, když pro libovolnou trojici $x_1,x_2,x_3\in I$, $x_1<x_2<x_3$ platí

$f(x_2)>f(x_1)+\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}(x_2-x_1).$

• Ověření těchto vlastností pomocí uvedených postupů je však náročné, nalézt a ověřit je lze pomocí druhé derivace (sudé)

O konvexnosti a konkávnosti funkce na intervalu

• Nechť je $f$ spojitá na intervalu $I$ a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje druhá derivace. Pak

  1. Je-li $f^{\prime \prime }(x)>0$ v každém vnitřním bodě $x$ intervalu $I$, je $f$ ryze konvexní na $I$.
     • posloupnost směrnic tečen roste
  2. Je-li $f^{\prime \prime }(x)<0$ v každém vnitřním bodě $x$ intervalu $I$, je $f$ ryze konkávní na $I$.
     • posloupnost směrnic tečen klesá
     • ”Do konkávy do kávu nenaliješ” :)
  3. Je-li $f^{\prime \prime }(x)=0$ v každém vnitřním bodě $x$ intervalu $I$, je $f$ lineární na $I$.

• Bod, kde se konvexnost mění na konkávnost nebo naopak, nazveme inflexním bodem.

Nutná podmínka pro existenci inflexního bodu

• Je-li bod $x_0$ inflexním bodem funkce $f$ a má-li funkce v tomto bodě vlastní druhou derivaci, pak $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.
• Jedná se o bod, ve které se funkce $f$ přeměňuje z konkávní na konvexní nebo naopak

Asymptota

• Při vyšetřování průběhu funkce a především pro přesnější kreslení jejího grafu je dobré znát přímky, kterým se graf funkce v okolí některých zajímavých bodů podobá
• Zjednodušeně řečeno, asymptota je přímka, ke které se graf funkce blíží, ale nikdy se jí nedotkne.

Isibalo - Co jsou to asymptoty

Asymptota bez směrnice - ABS

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Přímka $p:x=a$ se nazývá asymptota bez směrnice (svislá asymptota) $f$ v bodě $a\in \mathbb{R}$, jestliže ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty \text{nebo}{\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty .$

Asymptota se směrnicí - ASS

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Přímka $p:y=kx+q,x\in \mathbb{R}$ se nazývá asymptota se směrnicí (asymptota v $\pm \infty$) funkce $f$, jestliže ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(kx+q)]=0.$

• Lineární funkce $p:y=kx+q,x\in \mathbb{R}$ je asymptotou se směrnicí (asymptota v $\infty$), právě když

  • $k={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$, kde $k\in \mathbb{R}$,
  • $q={\lim }_{x\to \infty }[f(x)-kx]$, kde $q\in \mathbb{R}$.

Podobná věta platí také pro asymptotu v $-\infty$.

Postup při vyšetřování průběhu funkce

1. Z předpisu funkce $y=f(x)$

   • určíme definiční obor funkce, příp. nulové body
   • určíme paritu funkce (sudá resp. lichá)
   • rozhodneme o spojitosti funkce v definičním oboru

2. Vypočítáme první derivaci funkce

   • určíme definiční obor derivace, určíme nulové body derivace (body podezřelé z extrému)
   • určíme intervaly monotonie (roste resp. klesá)
   • klasifikujeme extrémy

3. Vypočítáme druhou derivaci

   • určíme intervaly konkávnosti resp. konvexnosti funkce
   • určíme inflexní body

4. Sestavíme tabulku dosavadních informací o funkci

   • užitečné pro přehlednost
   • určíme a zapíšeme hodnoty funkce ve význačných bodech (extrémy, inflexní body).

5. Určíme rovnice asymptot (ABS, ASS), pokud existují.

6. Nakreslíme graf funkce.

Navigace

Předchozí: Derivace funkce a její geometrický význam - Pravidla pro derivování funkcí, derivace složené funkce, derivace inverzní funkce, derivace elementárních funkcí Následující: Neurčitý integrál a metody jeho výpočtu Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií