Posloupnosti a jejich limity, limes superior, limes inferior

Posloupnost

• Každé zobrazení $f:\mathbb{N}\to A$ nazýváme číselná posloupnost
  • kde $A$ je libovolná množina libovolných objektů
  • pokud je obor hodnot číselný, pak mluvíme o číselné posloupnosti
• Posloupnost je konečná, jestliže je definičním oborem množina $\{1,2,...,k\}$, kde $k\in \mathbb{N}$
  • takové posloupnosti označujeme jako uspořádáné $n$-tice
• Funkční hodnotu funkce $f$ v bodě $n$ nazýváme $n$-tý člen posloupnosti a značíme $a_n,b_n$ apod.
• Posloupnost s $n$-tým členem pak zapisujeme $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ nebo jen $(a_n)$
• Neformálně lze chápat jako kolekci hodnot, ve které jsou prvky dány svým pořadím (sekvence)

Způsoby zadání posloupnosti

• Číselná posloupnost bývá zadána:
  1. Několika prvními členy 
     • z kterých jsou zřejmé následující členy $\frac{1}{1\cdot 4},\frac{3}{4\cdot 7},\frac{5}{7\cdot 10},\frac{7}{10\cdot 13},...$
  2. Předpisem vyjadřující n-tý člen $a_n={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{\infty },a_n={\left((-1{)}^{n}n\right)}^{\infty },a_n={\left({\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right)}^{\infty }$
  3. Rekurentně
     • Členy posloupnosti jsou určeny pomocí jednoho nebo více předcházejících členů
     • Typickým příkladem je Fibonacciho posloupnost: $a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$

Podposloupnost

• Posloupnost $(b_n)$ se nazývá podposloupnost $(a_n)$, právě když existuje posloupnost přirozených čísel $k_1<k_2<k_3<...$ tak, že $\forall n\in \mathbb{N}$ je $b_n=a_{kn}$.

Speciální posloupnosti

Aritmetická posloupnost

• Posloupnost $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ se nazývá aritmetická, právě když existuje číslo $d\in \mathbb{R}$ takové, že pro každé $n\in \mathbb{N}$ platí

$$a_{n+1}=a_n+d.\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

• Číslo $d$ nazýváme diference aritmetické posloupnosti.

Geometrická posloupnost

• Posloupnost $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ se nazývá geometrická, právě když existuje takové $q\in \mathbb{R}$, že pro libovolné $n\in \mathbb{N}$ platí

$$a_{n+1}=a_n\cdot q.\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

• Číslo $q$ nazýváme kvocientem geometrické posloupnosti.

Monotónnost posloupnosti

• Posloupnost $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ se nazývá

$$\{\begin{array}{l}\text{rostoucıˊ}\\ \text{klesajıˊcıˊ}\\ \text{nerostoucıˊ}\\ \text{neklesajıˊcıˊ}\\ \text{konstantnıˊ}\end{array}\text{ je-li pro vsˇechna }n\in \mathbb{N}\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}>a_n\\ a_{n+1}<a_n\\ a_{n+1}\le a_n\\ a_{n+1}\ge a_n\\ a_{n+1}=a_n\end{array}$$

• Má-li posloupnost některou z prvních 4 vlastností, nazýváme ji monotónní.
• Je-li posloupnost rostoucí nebo klesající, nazýváme ji ryze monotónní

Omezenost posloupnosti

• Posloupnost $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ se nazývá

$$\{\begin{array}{l}\text{shora omezenaˊ}\\ \text{zdola omezenaˊ}\end{array}\text{, existuje-li takoveˊ cˇıˊslo}\{\begin{array}{l}H\in \mathbb{R}\\ D\in \mathbb{R}\end{array}\text{, zˇe pro kazˇdeˊ }n\in \mathbb{N}\text{ je}\{\begin{array}{l}{a}_n\le H\\ a_n\ge D\end{array}$$

Limity posloupnosti

• Zkoumáme chování posloupnosti pro velká přirozená čísla
• Jedná se o hodnotu, ke které se posloupnost přibližuje, postupuje-li do nekonečna

Konečné limity posloupnosti

Definice

Číslo $a\in \mathbb{R}$ se nazývá limita posloupnosti $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ právě když $\forall ϵ>0\exists n_0;\forall n>n_0:|a_n-A|<ϵ$

• Píšeme ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$
• Takovou posloupnosti $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ pak nazýváme konvergentní
  • říkáme že posloupnost $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ konverguje k $a$
  • např. geometrická posloupnost $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$, pro jejíž kvocient $q$ platí $|q|<1$ , je konvergentní a ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$, konverguje tedy k $0$
• Místo ${\lim }_{n\to \infty }=a$ píšeme také $a_n\to a$, čteme posloupnost $a_n$ konverguje ke své limitě $a$

Nekonečné limity posloupnosti

• Posloupnost $a_n$, která nemá konečnou limitu, nazýváme divergentní

Definice

Říkáme, že posloupnost $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ má limitu $+\infty$, právě když $\forall K\exists n_0\in \mathbb{N};\forall n\ge n_0:a_n>K$ Píšeme ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty$. Analogicky definiujeme $-\infty$.

Vlastnosti limit

Vlastnosti limit

1. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

• posloupnost buď limitu nemá (je divergentní) nebo má právě jednu

2. Každá konvergentní posloupnost je omezená
3. Nechť $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ a $(b_n{)}_{n=1}^{\infty }$ jsou konvergentní posloupnosti a nechť ${\lim }_{x\to \infty }(a_n)=a$ a ${\lim }_{n\to \infty }(b_n)=b$. i) ${\lim }_{x\to \infty }(a_n\pm b_n)={\lim }_{n\to \infty }(a_n)\pm {\lim }_{n\to \infty }(b_n)=a\pm b$ ii) ${\lim }_{x\to \infty }(a_n\cdot b_n)={\lim }_{n\to \infty }(a_n)\cdot {\lim }_{n\to \infty }(b_n)=a\cdot b$ iii) ${\lim }_{x\to \infty }(\frac{a_n}{b_n})=\frac{{\lim }_{x\to \infty }(a_n)}{{\lim }_{x\to \infty }(b_n)}=\frac{a}{b}$ (pro $b\ne 0$; $\forall n\in \mathbb{N}:b_n\ne 0$) iv) ${\lim }_{x\to \infty }(c\cdot a_n)=c\cdot {\lim }_{x\to \infty }(a_n)=c\cdot a($pro $c\in \mathbb{R},c\ne 0)$

Isibalo - Věty o limitách posloupností

Limes inferior a Limes superior

• Tyto pojmy můžeme chápat jako omezení zespoda a seshora pro hodně velké $n$ (v nekonečnu)
• Posloupnost těchto mezí buďto nabývá nebo se nekonečně blíží v konečném počtu případů
• Na rozdíl od limity, limes inferior i limes superior vždy existují
  • Limita posloupnost existuje, jestliže $\mathrm{limsup}{a}_n=\mathrm{liminf}{a}_n$
• ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{a}_n\le {\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{a}_n$
• ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{a}_n={\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }(-a_n)$

Limes superior

• Nechť $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme

$$\mathrm{limsup}{a}_n:=\{\begin{array}{ll}{\lim }_{n\to \infty }\sup \{a_k;k\ge n\},& \text{jestlizˇe je }{a}_n\text{ shora omezenaˊ}\\ \infty ,& \text{jestlizˇe je }{a}_n\text{ shora neomezenaˊ}.\end{array}$$

• Tuto hodnotu nazýváme limes superior posloupnosti $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.
• Alternativní zápis: $\mathrm{limsup}{a}_n:={\lim }_{n\to \infty }({\sup }_{k\ge n}{a}_k)$

Limes inferior

• Nechť $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme$\mathrm{liminf}{a}_n:=\{\begin{array}{ll}{\lim }_{n\to \infty }\inf \{a_k;k\ge n\},& \text{jestlizˇe je }{a}_n\text{ zdola omezenaˊ}\\ -\infty ,& \text{jestlizˇe je }{a}_n\text{ zdola neomezenaˊ}.\end{array}$
• Tuto hodnotu nazýváme limes inferior posloupnosti $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.
• Alternativní zápis: $\mathrm{liminf}{a}_n:={\lim }_{n\to \infty }({\inf }_{k\ge n}{a}_k)$

Navigace

Předchozí: Funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti Následující: Limita funkce včetně nevlastních, jednostranné limity Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií