Neurčitý integrál a metody jeho výpočtu

Primitivní funkce

• Nechť je $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definována na intervalu $I$ libovolného druhu.
• Potom máme funkci $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takovou, že $\forall x\in I$ platí $F^{\prime }(x)=f(x)$  - *pokud zderivuji funkci $F$ dostanu funkci $f$  - $F$ nazýváme *primitivní funkcí k $f$ na $I$

O primitivní funkci

1. Nechť $F$ je primitivní funkce k $f$ na $I$. Pak také funkce $G$ definovaná předpisem $G(x)=F(x)+c$, $x\in I$, $c\in \mathbb{R}$ je primitivní funkcí k $f$ na $I$.
2. Nechť $F$ a $G$ jsou primitivní funkce k funkci $f$ na $I$, pak funkce $F-G$, $x\in I$ je konstantní.

• Tato nejednoznačnost primitivní funkce k $f$ vede k definici neurčitého integrálu

Neurčitý integrál funkce $f$ na $I$

• Nechť existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$.
• Množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ na $I$ pak nazýváme neurčitý integrál funkce $f$ na $I$ a značíme jej $\int f(x)dx=\{F(x)+c|c\in \mathbb{R}\}.$
• Primitivních funkcí $F(x)$ k funkci $f$ je nekonečně mnoho a liší se pouze konstantou $c$
  • jde o tzv. *integrační konstantu
  • to je dáno tím, že při derivaci funkce $F$ se vyloučí veškeré konstanty
• Po integraci funkce $f$ na $F$ je vhodné tuto konstantu pro úplnost doplnit
  • (po získání primitivní funkce k $f$ - opačná operace k derivaci)
• Značení:
  • $\int$ - značení integrálu
  • $f(x)$ - integrovaná funkce (integrand)
  • $dx$  - proměnná podle které integrujeme (integrační proměnná)
  • $F(x)$ -  primitivní funkce
  • $c$ - integrační konstanta

Isibalo - Co nám říká neurčitý integrál

O existenci primitivní funkce

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je spojitá na intervalu $I\subseteq \mathbb{R}$ libovolného druhu, pak $f$ má na $I$ primitivní funkci.
• Funkce $f$, která není na R spojitá, nemusí mít na R primitivní funkci

O linearitě primitivní funkce

• Nechť na $(a,b)$ existují primitivní funkce k funkcím $f_1$ a $f_2$ a nechť $k_1,k_2\in \mathbb{R}$. Pak existuje primitivní funkce k funkci $k_1{f}_1+k_2{f}_2$ a platí

$$\int (k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x))dx=k_1\int f_1(x)dx+k_2\int f_2(x)dx.$$

• Větu o linearitě lze zobecnit na tvar

$$\int (k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)+\cdots +k_n{f}_n(x))dx=k_1\int f_1(x)dx+k_2\int f_2(x)dx+\cdots +k_n\int f_n(x)dx.$$

Metody výpočtu neurčitého integrálu

• Na rozdíl od derivace, integrace žádná přesně definovaná pravidla pro počítání složitějších výrazů nemá
• K tomu se využívá různých metod
  • per-partes (typicky pro výrazy obsahující součin)
  • substituce (složené funkce)
• Typicky se snažíme převést integrovaný výraz do ekvivalentní podoby, kterou integrovat umíme

Přímá integrace

• Převádíme integrál na primitivní funkci pomocí tabulky základních primitivních funkcí, větě o linearitě a vzorečku $\int f(x)dx=F(x)+c\Rightarrow [F(x)+c{]}^{\prime }=f(x)$   1. jednotlivé součty ve výrazu rozdělíme na samostatné integrály   2. vytkneme konstanty před integrály   3. jednotlivé integrály spočítáme podle pravidel pro primitivní funkce (dle tabulky níže)   - pro složitější výrazy je nutné využít substituce, per partes apod.

Metoda per partes (“po částech”)

• Nechť funkce $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ jsou definovány na $(a,b)$ a nechť $F^{\prime }=f$ a $G^{\prime }=g$ na $(a,b)$.
• Nechť dále existuje $\int f(x)G(x)dx$ na $(a,b)$. Pak také existuje $\int F(x)g(x)dx$ na $(a,b)$ a platí

$$\int F(x)g(x)dx=F(x)G(x)-\int f(x)G(x)dx.$$

• Tvrzení věty si budeme lépe pamatovat ve tvaru

$$\int F{G}^{\prime }=FG-\int F^{\prime }G.$$

• Možná čitelnější zápis: $\int u{v}^{\prime }=uv-\int u^{\prime }v.$
• Odvozeno z pravidla pro derivaci součinu funkcí   - $(uv{)}^{{}^{\prime }}=u^{{}^{\prime }}v+u{v}^{{}^{\prime }}$ - obě strany zintegrujeme   - $uv=\int u^{{}^{\prime }}v+\int u{v}^{{}^{\prime }}$     - tedy $\int u^{{}^{\prime }}v=uv-\int u{v}^{{}^{\prime }}$ nebo  $\int u{v}^{{}^{\prime }}=uv-\int u^{{}^{\prime }}v$
• Tato metoda je vhodná, když je jedna funkce v součinu snadno diferencovatelná a druhá integrovatelná

Isibalo - Metoda per partes

Substituční metoda

• Převádíme složenou funkci, kterou neumíme integrovat do jednoduššího tvaru tak, aby šla integrovat přímo
• Volba vhodné substituce není snadná a vyžaduje nějakou zkušenost

Isibalo - Substituční metoda

První věta o substituci

1. Nechť funkce $t=\phi (x)$ zobrazuje interval $(a,b)$ do intervalu $(\beta ,\gamma )$ a nechť na $(a,b)$ existuje vlastní ${\phi }^{\prime }$.
2. Nechť funkce $f$ má na intervalu $(\beta ,\gamma )$ primitivní funkci $F$, tj. platí $F(t)=\int f(t)dt$, $t\in (\beta ,\gamma )$. Pak na $(a,b)$ existuje primitivní funkce k funkci $(f\circ \phi ){\phi }^{\prime }$ a platí

$$\int (f\circ \phi )(x){\phi }^{\prime }(x)dx=(F\circ \phi )(x),x\in (a,b)$$

neboli

$$\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=F(\phi (x)).$$

• Postup výpočtu neurčitého integrálu pomocí první věty o substituci:

1. Hledáme integrál tvaru $\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx$.
2. Pokud funkce $f$ a $\phi$ splňují podmínky první věty o substituci, pak:     a) Položíme $\phi (x)=t$, $x\in (a,b)$, $t\in (\beta ,\gamma )$.        ${\phi }^{\prime }(x)dx=dt$.     b) Vypočítáme integrál $\int f(t)dt=F(t)$, $t\in (\beta ,\gamma )$
   • doufáme, že je výraz jednodušší než původní integrál v zadání a umíme ho spočítat
3. Vrátíme se k proměnné $x$ a hledaný neurčitý integrál má tvar $F(\phi (x))$, $x\in (a,b)$.

• Stručněji: $\int f(\phi (x))\cdot {\phi }^{\prime }(x)dx=\left|\begin{array}{c}\phi (x)=t\\ {\phi }^{\prime }(x)dx=dt\end{array}\right|=\int f(t)dt.$

Druhá věta o substituci

1. Nechť funkce $x=\phi (t)$ zobrazuje interval $(\beta ,\gamma )$ na interval $(a,b)$ a nechť na $(\beta ,\gamma )$ existuje vlastní ${\phi }^{\prime }>0$ (nebo ${\phi }^{\prime }<0$).
2. Nechť $G$ je primitivní funkce k funkci $(f\circ \phi ){\phi }^{\prime }$ na intervalu $(\beta ,\gamma )$, tj. platí $G(t)=\int (f\circ \phi )(t){\phi }^{\prime }(t)dt$, $t\in (\beta ,\gamma )$. Pak na $(a,b)$ existuje primitivní funkce k funkci $f$ a platí $\int f(x)dx=(G\circ {\phi }^{-1})(x),x\in (a,b)$ neboli $\int f(x)dx=G({\phi }^{-1}(x)).$

• Postup výpočtu neurčitého integrálu pomocí druhé věty o substituci:

1. Hledáme integrál tvaru $\int f(x)dx.$
2. Zvolíme nějakou vhodnou funkci $\phi$ a pokud funkce $f$ a $\phi$ splňují podmínky druhé věty o substituci, pak a) položíme $x=\phi (t)$, $t\in (\beta ,\gamma )$, $x\in (a,b)$, $dx={\phi }^{\prime }(t)dt,$ b) vypočítáme integrál $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=G(t),t\in (\beta ,\gamma )$
   • opět doufáme, že nový výraz je jednodušší než původní integrál v zadání a umíme ho spočítat
3. Vrátíme se k proměnné $x$ a hledaný neurčitý integrál má tvar $G({\phi }^{-1}(x)),x\in (a,b).$ Stručněji: $\int f(x)dx=\left|\begin{array}{c}x=\phi (t)\\ dx={\phi }^{\prime }(t)dt\end{array}\right|=\int f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)dt.$

Integrace racionálních funkcí

• Je třeba umět integrovat následující čtyři typy zlomků:

1. $\frac{A}{x-a}$,
2. $\frac{A}{(x-a{)}^k}$,
3. $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$,
4. $\frac{Ax+B}{(x^2+px+q{)}^k}$,

kde $A,B,a,p,q\in \mathbb{R}$, $k\in \mathbb{N}$ a $p^2-4q<0$.

• Výpočet jednotlivých případů:

$\int \frac{A}{x-a}dx=\left|\genfrac{}{}{0ex}{}{x-a=t}{dx=dt}\right|=A\int \frac{1}{t}dt=A\ln |t|+c=A\ln |x-a|+c.$

2. pro $k>1$ pak $\int \frac{A}{(x-a{)}^k}dx=\left|\genfrac{}{}{0ex}{}{x-a=t}{dx=dt}\right|=A\int \frac{1}{t^k}dt=\frac{A}{(1-k)t^{1-k}}+c=\frac{A}{(1-k)(x-a{)}^{1-k}}+c.$

3. Je-li $A=2$ a $B=p$ (čitatel je tak derivací jmenovatele), pak máme obecně $\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx=\int \frac{2x+p}{x^2+px+q}dx=\left|\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+px+q=t}{(2x+p)dx=dt}\right|=\int \frac{1}{t}dt=\ln |t|+c=\ln |x^2+px+q|+c.$

• Pokud máme obecně $x^2+px+q$ a $p^2-4q<0$, pak $x^2+px+q={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2-\frac{p^2}{4}+q={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2+\left(q-\frac{p^2}{4}\right)=\left(q-\frac{p^2}{4}\right)\left({\left(\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\right)}^2+1\right).$

  • Potom je $\int \frac{1}{x^2+px+q}dx=\int \frac{1}{(q-\frac{p^2}{4})\left({\left(\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\right)}^2+1\right)}dx=\left|\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}=t}{dx=\frac{1}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}dt}\right|$ $=\frac{1}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\int \frac{1}{t^2+1}dt=\frac{1}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\arctan t+c=\frac{1}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}\arctan \frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}+c.$

• Nakonec vyřešíme nejobecnější případ třetího typu zlomku. Při výpočtu tohoto integrálu použijeme to, co již známe ze speciálních tvarů v předchozích dvou příkladech.

• Obecně vypadá úprava a postup takto: $\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx=\frac{A}{2}\int \frac{2x+\frac{2B}{A}+p-p}{x^2+px+q}dx=$ $=\frac{A}{2}\int \frac{2x+p}{x^2+px+q}dx+\left(B-\frac{pA}{2}\right)\int \frac{1}{x^2+px+q}dx.$

• Tyto integrály jsme však postupně vyřešili výše.

4. Pomocí substituce

Navigace

Předchozí: Průběh funkce - základní věty diferenciálního počtu, extrémy funkce, konvexní a konkávní křivky, asymptoty Následující: Riemannův určitý integrál - definice, základní věta integrálního počtu, metody výpočtu Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií