Množiny, množinové operace, potenční množina, kartézský součin, číselné množiny, spočetné a nespočetné množiny

Pojem množina

• Množina je objekt, který se skládá z jiných objektů, tzv. prvků množiny

• Množina je jednoznačně daná prvky, které obsahuje - nemá tedy smysl hovořit o pořadí prvků v množině, nebo kolikrát je daný prvek v množině

• Množina je matematickým protějškem k pojmům soubor, seskupení, …

• Množiny označujeme velkými písmeny a jejich prvky malými

  • $x\in A$ znamená, že $x$ je prvkem množiny $A$

• Zápis množin lze těmito základními způsoby:

  • Výčtem prvků $A=\{a_1,...a_n\}$, množina $A$ obsahuje právě prvky $a_1,...,a_n$
  • Charakteristická vlastnost $A=\{x\mid \psi (x)\}$, množina obsahuje prvky $x$ splňující vlastnost $\psi (x)$

• Systém množin = množina, jejíž prvky jsou znovu množiny

Vztahy mezi množinami

1. Rovnost
   • Označujeme symbolem "$=$"
   • Pro každé $x$ platí: $x\in A$, právě když $x\in B$
   • Dvě množiny obsahují stejné prvky
   • Když $A=B$ říkáme, že množina $A$ se rovná množině $B$
   • $A=B$ platí, právě když platí zároveň $A\subseteq B$ a $B\subseteq A$
2. Inkluze
   • Označujeme symbolem "$\subseteq$"
   • Pro káždé $x$ platí: jestliže $x\in A$, pak $x\in B$
   • Všechny prvky množiny $A$ jsou také prvky množiny $B$
   • Když $A\subseteq B$ říkáme, že množina $A$ je podmnožinou množiny $B$
   • Někdy je výhodné psát $A\subset B$, abychom označili, že $A\subseteq B$ a $A\ne B$

Operace s množinami

• Mezi základní operace s množinami patří průnik, stejnocení a rozdíl

1. Průnik
   • Označujeme symbolem "$\cap$"
   • $A\cap B=\{x\mid x\in A$ a $x\in B\}$
   • Prvek $x$ patří do $A\cap B$, právě když patří do $A$ a zároveň do $B$
   • Společné prvky
   • Množiny A a B se nazývají navzájem disjunktní právě když $A\cap B=\varnothing$
2. Sjednocení
   • Označujeme symbolem "$\cup$"
   • $A\cup B=\{x\mid x\in A$ nebo $x\in B\}$
   • Prvek $x$ patří do $A\cup B$, právě když patří do $A$ nebo do $B$
   • Spojení všech prvků v množinách
3. Rozdíl
   • Označujeme symbolem "$-$"
   • $A-B=\{x\mid x\in A$ a $x\notin B\}$
   • Prvek $x$ patří do $A-B$, právě když patří do $A$, ale nepatří do $B$

Vennovy diagramy

• Lze na nich ilustrovat základní operace a vztahy mezi množinami
• Umožňují názornou představu

Potenční množina

• Značí se $2^X$
• $2^X=\{A\mid A\subseteq X\}$
• Množina, jejímiž prvky jsou právě všechny podmnožiny dané množiny $X$
• Je-li $X$ konečná, pak $\mid 2^X\mid =2^{\mid X\mid }$
• Vždy obsahuje prázdnou množinu ($\varnothing$), protože ta je podmnožinou každé množiny

Příklad

• $X=\{a,b\}\to 2^X=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$
• $X=\varnothing \to 2^X=\{\varnothing \}$

Kartézský součin

• Kartézský součin $n$ množin je množina všech uspořádaných $n$-tic prvků z těchto množin
• $X_1\times ...\times X_n=\{<x_1,...,x_n>\mid x_1\in X_1,...,x_n\in X_n\}$
• Je-li $X_1=...=X_n=X$, pak píšeme $X^n$ a říkáme $n$-tá kartézská mocnina množiny $X$
• Velikost $\mid A\times B\mid$ je $\mid A\mid \times \mid B\mid$

Speciální množiny

• Speciální množinou je tzv. prázdná množina, označující se $\varnothing$. Tato množina neobsahuje žádný prvek, tedy pro každý prvek $x$ platí: $x\notin \varnothing$

Význačné číselné množiny

1. Přirozená čísla - $\mathbb{N}$
   • $1,2,3,4,...$
   • Jsou používána pro počítání a pořadí.
2. Celá čísla - $\mathbb{Z}$
   • $...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$
   • Zahrnují přirozená čísla, jejich záporné protějšky a nulu.
3. Racionální čísla - $\mathbb{Q}$
   • Čísla, která lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel ($\frac{p}{q}$, kde $p\in \mathbb{Z}$ a $q\in \mathbb{Z}\{0\}$).
   • Mohou být zlomky nebo celá čísla.
4. Iracionální čísla
   • Zahrnuje čísla, která nelze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel.
   • $\pi ,e,\sqrt{2}$
5. Reálné čísla - $\mathbb{R}$
   • Všechna racionální a iracionální čísla.
   • Reálná čísla reprezentují všechny možné hodnoty na číselné ose.

Množiny konečné/nekonečné a spočetné/nespočetné

• Množiny se dělí na:

  • Konečné
    • Existuje přirozené číslo $n$ tak, že prvky v množině lze jednoznačně očíslovat
    • Číslo $n$ určuje počet prvků v množině (velikost množiny)
    • Značení $\mid A\mid =n$
  • Nekonečné
    • Není-li konečná
    • Značení $\mid A\mid =\infty$

• Množina může být:

  • Spočetná
    • Pokud je konečná nebo existuje bijekce $f:\mathbb{N}\to A$
      • Jinými slovy, množina je spočetná, pokud její prvky lze jednoznačně přiřadit k prvkům množiny přirozených čísel. Tedy pokud existuje bijekce mezi touto množinou a podmnožinou $\mathbb{N}$
    • Značení $\mid A\mid =n$
  • Nespočetná
    • Není-li spočetná
    • Nespočetné množiny jsou vždy nekonečné
    • Důkaz nespočetnosti lze například pomocí Cantorovy diagonální metody

Příklad spočetné a nespočetné množiny

• Množina celých čísel $\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ je nekonečná, ale je spočetná, protože můžeme zkonstruovat bijekci s množinou $\mathbb{N}$.
• Množina reálných čísel $\mathbb{R}$ je nespočetná. To lze dokázat pomocí Cantorova diagonálního argumentu, který ukazuje, že žádná bijekce mezi $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ neexistuje.

Navíc - Cantorova diagonální metoda

Navigace

Předchozí: Úplné konjunktivní a disjunktivní normální formy Následující: Relace, binární relace a jejich reprezentace, operace s relacemi Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií