Geometrická interpretace určitého integrálu

Určitý integrál

• Existuje několik definic určitého integrálu:
  • Cauchyův
  • Newtonův,
  • Riemannův (nejčastější) - zobecnění Cachyuova integrálu,
  • Lebesgueův…
• Definice se liší množinou funkcí, pro které platí
• Na rozdíl od neurčitého integrálu, kde výsledkem je množina primitivních funkcí, je výsledkem určitého integrálu číslo, které můžeme interpretovat jako obsah plochy pod křivkou grafu funkce $f$ na intervalu $⟨a,b⟩$
  • určitý integrál uvažujeme na uzavřeném intervalu, na níž je funkce $f$ omezena
  • říkáme určitý integrál $f$ od $a$ do $b$
• Využití pro výpočet:
  • obsahu plochy pod křivkou grafu (rovinného útvaru),
  • délky křivek,
  • objemy rotačních těles, pláště těles,…
  • jiné aplikace ve fyzice, chemii

Poznámka

Idea výpočtu obsahu plochy pro vymezený úsek grafu:

• Úsek grafu rozdělíme na $n$ podintervalů stejné délky
• (obecně stejné délky mít nemusí)
• Pro každý interval můžeme uvažovat obdélník, jehož základna je dána dělením a výška je dána některou funkční hodnotou na daném podintervalu
• např. lokální maximum/minimum
• Odhad (aproximace) obsahu celé plochy spočítáme jako součet obsahů ploch jednotlivých obdélníků
• Je přitom zřejmé že, pokud vezmeme jako výšky jednotlivých obdélníků lokální maxima/minima, je tento odhad nepřesný
  • Přesnější odhad získáme jemnějším rozdělením na více podintervalů (užších obdélníků)

Obsah rovinného útvaru

• Uvažme funkci $f$, která je spojitá a kladná na intervalu $⟨a,b⟩$. Potom určitý integrál funkce $f$ ${\int }_a^{b}f(x)dx$ udává obsah $S(U)$ rovinného útvaru $U$ ohraničeného grafem funkce $f$, osou $x$ a přímkami $x=a$ a $x=b$

• Jestliže funkce $f$ nabývá na intervalu $⟨a,b⟩$ záporných hodnot, pak je obsah vypočítán jako $S(U)=|{\int }_a^{b}f(x)dx|=-{\int }_a^{b}f(x)dx$

• Jestliže funkce $f$ nabývá na intervalu $⟨a,b⟩$ kladných i záporných hodnot, pak stačí tento interval rozdělit na dílčí intervaly, ve kterých nabývá funkce pouze kladných (resp. záporných) hodnot   - spočítáme obsahy jednotlivých dílčích intervalů dle výše uvedených úvah a sečteme

 

• Je-li rovinný útvar $U$ omezený spojitými funkcemi $f$ shora a funkcí $g$ zdola (platí $g(x)<f(x)$ pro $\forall x\in ⟨a,b⟩$), pak pro obsah $S(U)$ platí: $S(U)={\int }_a^{b}f(x)-g(x)dx$   - tento vztah platí i případě, že funkce v některých částech nabývají záporných hodnot

  - pokud se navíc funkce $f(x)$ a $g(x)$ neprotínají stačí si výpočet zjednodušit na $S(H)={\int }_a^b|f(x)-g(x)dx|={\int }_a^b|g(x)-f(x)dx|$

• Příklad výpočtu:

• Obsah plochy A + B omezené funkcemi $f$ a $g$ z výše uvedeného obrázku bychom spočítali následovně:   1. Vyhledáme průsečíky funkcí na daném intervalu: $[-5,0],[0,0]$ a $[4,0]$   2. Ze znalosti vzájemné velikost $f(x)$ a $g(x)$ spočítáme $S=A+B={\int }_{-5}^{0}f(x)-g(x)dx+{\int }_0^{4}g(x)-f(x)dx$   3. Pokud bychom uspořádání $f(x)$ a $g(x)$ na určeném intervalu neznali, stačí: $S=A+B=|{\int }_{-5}^{0}f(x)-g(x)|+|{\int }_0^{4}f(x)-g(x)|$

Délka rovinné křivky

• Nechť funkce $f$ je na intervalu $⟨a,b⟩$ spojitá a má definovanou derivaci, pak pro délku jejího grafu platí: $l={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{{}^{\prime }}(x){)}^2}dx$

Objem rotačního tělesa

• Vezmeme-li rovinný útvar a necháme ho rotovat kolem osy $x$, vznikne nám rotační těleso, jehož objem můžeme spočítat pomocí určitého integrálu
• Nechť rotační těleso vznikne rotací křivky funkce $y=f(x)$ kolem osy $x$ na intervalu $⟨a,b⟩$, pak pro jeho objem platí: $V=\pi {\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx$
• Pokud bychom chtěli spočítat objem rotačního tělesa ohraničený dvěma funkcemi $f(x)$ a $g(x)$, pak pro jeho objem platí: $V=\pi {\int }_a^b|(f(x){)}^2-(g(x){)}^2|dx$

Obsah rotační plochy

• Pomocí určitého integrálu spočítáme i obsah pláště rotačního tělesa: $S=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\ast (1+(f^{{}^{\prime }}(x){)}^2)dx$

Navigace

Předchozí: Riemannův určitý integrál - definice, základní věta integrálního počtu, metody výpočtu Následující: Algoritmus, problém, časová složitost algoritmu v nejhorším a průměrném případě Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií