Funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti

• Zobrazení $f$ se nazývá reálná funkce, jestliže $H(f)\subset \mathbb{R}$
• Reálná funkce $f$ se nazývá
  1. funkce jedné reálné proměnné, jestliže $D(f)\subset \mathbb{R}$, tedy $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
  2. posloupnost, jestliže $D(f)=\mathbb{N}$, tedy $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$
  3. funkce $n$ reálných proměnných, jestliže $D(f)\subset {\mathbb{R}}^n$, kde $n\in \mathbb{N}$, tedy $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$

Funkce jedné reálné proměnné

• Funkce jedné reálné proměnné
  • Každé zobrazení $f$ z $\mathbb{R}$ do $\mathbb{R}$ nazýváme reálná funkce jedné reálné proměnné.
  • Je-li $(x,y)\in f$, píšeme $y=f(x)$
    • $x$ se nazývá nezávislá proměnná, y závislá proměnná
• S pojmem funkce jsou spjaty dvě významné množiny:
  • Definiční obor funkce: $D(f)=\{x\in \mathbb{R};\exists (x,y)\in f\}$
    • Prvky definičního oboru nazýváme vzory
  • Funkční obor (obor hodnot): $H(f)=\{y\in \mathbb{R};\exists (x,y)\in f\}$
    • Prvky funkčního oboru nazýváme obrazy

Způsoby definice funkce

• Zadat (definovat) funkci $f$ znamená určit její definiční obor $D(f)$ a jisté pravidlo $V(x,y)$, jehož oborem pravdivosti je $f$ a které stanovuje, jak k zadanému $x\in D(f)$ najít hodnotu $f(x)$.
• Podle toho, jak je toto pravidlo formulováno, rozlišujeme tato zadání funkce:
  1. rovnicí (předpisem): $\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrlrlr}f=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R};y=x^2-1\}& & & & & & & & & & & & & & & & \\ f:y=x^2-1& & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$
  2. tabulkou:

     |  x  | -2  | -1  | 0   | 1   | 2   | 3   |
     | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
     |  y  | 3   | 0   | -1  | 0   | 3   | 8   |

  3. grafem:
  4. po částech: undefined
  5. implicitní rovnic (nejsou explicitně odděleny závislé a nezávislé proměnné): $x^2+y^2=25$
  6. parametricky: $x=4\cdot \cos t,y=\sin t,t\in <0,\pi >$
  7. jinak: např. pomocí výrokové formy $V(x,y)=$ ”$y$ je největší celé číslo, které není větší než $x$”, …

Vlastnosti funkcí

• Omezenost:
  • Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a $M\in D(f)$. Říkáme, že $f$ je na množině $M$
    1. omezená shora, právě když $\exists K\in \mathbb{R},\forall x\in M:f(x)\le K$
    2. omezená zdola, právě když $\exists k\in \mathbb{R},\forall x\in M:f(x)\ge k$
  • Pokud je funkce omezená zdola i shora, říkáme, že je na množině $M$ omezená
  • Dále říkáme, že $f$ má v bodě $a\in M$
    1. maximum na množině $M$, právě když $\forall x\in M:f(x)\le f(a)\text{ a pıˊsˇeme }f(a)={\max }_{x\in M}f(x)$
    2. minimum na množině $M$, právě když $\forall x\in M:f(x)\ge f(a)\text{ a pıˊsˇeme }f(a)={\min }_{x\in M}f(x)$
• Monotónnost:
  • Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a $M\subset D(f).$ Říkáme, že funkce $f$ je na množině $M$
    1. rostoucí, právě když $\forall x_1,x_2\in M:(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2))$
    2. neklesající, právě když $\forall x_1,x_2\in M:(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2))$
    3. klesající, právě když $\forall x_1,x_2\in M:(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2))$
    4. nerostoucí, právě když $\forall x_1,x_2\in M:(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2))$
  • Pokud má funkce některou z těchto vlastností, říkáme, že je monotonní na $M$.
  • Je-li funkce rostoucí nebo klesající, říkáme, že je ryze monotonní na $M$.
• Parita a periodičnost:
  • Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a $M\subset D(f)$. Říkáme, že funkce $f$ je
    1. sudá na množině $M$, právě když $\forall x\in M:(-x)\in M\wedge f(x)=f(-x)$
    2. lichá na množině $M$, právě když $\forall x\in M:(-x)\in M\wedge f(-x)=-f(x)$
    3. $p$-periodická na množině $M$ s periodou $p\in \mathbb{R}$ $\forall x\in M:x+p\in M\wedge x-p\in M\wedge f(x+p)=f(x-p)=f(x)$

Funkce injektivní, surjektivní, bijektivní

• Funkce $f:X\to Y$ se nazývá:
  • Prostá (injektivní), právě když
    • pro každé $x_1,x_2\in X$ platí, jestliže $x_1\ne x_2$, pak $f(x_1)\ne f(x_2)$
    • tedy neopakují se $y$ pro dvě různá $x$
    • např. lineární funkce
  • Funkce množiny $X$ na množinu $Y$ (surjektivní), právě když
    • pro každé $y\in Y$ existuje $x\in X$ tak, že $f(x)=y$
    • tedy musí být použity všechny prvky z $Y$
  • Vzájemně jednoznačná (bijektivní), právě když je injektivní a surjektivní

Navigace

Předchozí: Lineární zobrazení a transformace a jejich matice Následující: Posloupnosti a jejich limity, limes superior, limes inferior Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií