Funkce (zobrazení) a jejich vlastnosti

Pojem funkce

• Nechť $X,Y$ jsou neprázdné množiny a $R$ je binární relace mezi množinami $X$ a $Y$.

• Relace $R$ se nazývá zobrazení $X$ do $Y$, má-li tyto vlastnosti:

  • pro každé $x\in X$ existuje $y\in Y$ tak, že $<x,y>\in R$
  • pro každé $x\in X$ a $y_1,y_2\in Y$ platí, že $<x,y_1>\in R$ a $<x,y_2>\in R\to y_1=y_2$

• Funkce je matematickým protějškem k pojmu přiřazení

• Parciální (částečná) funkce - může existovat $x\in X$ ke kterému neexistuje $y$

• Je-li $R\subseteq X\times Y$ funkce, píšeme $R:X\to Y$

• Používáme spíš $f,g$ … než $R,S$

• Je-li $f:X\to Y$ funkce a $x\in X$, pak $y\in Y$, pro který je $<x,y>\in f$, označujeme $f(x)$, píšeme také $x\mapsto y$ ($x\mapsto f(x)$).

• V tom případě říkáme, že $f$ zobrazuje prvek $x$ na prvek $y$

• Prvek $y$ nazveme obraz prvku $x$, prvek $x$ nazveme vzor prvku $y$.

• Množinu $f(X)=\{f(x)|x\in A\}$ nazveme úplný obraz množiny $X$

Vlastnosti funkcí

• Funkce $f:X\to Y$ se nazývá:
  • Prostá (injektivní), právě když:
    • pro každé $x_1,x_2\in X$ platí, jestliže $x_1\ne x_2$ pak $f(x_1)\ne f(x_2)$
    • tedy neopakují se $y$ pro dvě různá $x$
  • Funkce množiny $X$ na množinu $Y$ (surjektivní), právě když
    • pro každé $y\in Y$ existuje $x\in X$ tak, že $f(x)=y$
    • tedy musí být použita všechny prvky z $Y$
  • Vzájemně jednoznačná (bijektivní), právě když
    • je prostá a je to funkce na množinu $Y$
    • tedy injektivní a surjektivní zároveň

Navigace

Předchozí: Relace, binární relace a jejich reprezentace, operace s relacemi Následující: Binární relace na množině a jejich vlastnosti Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií